Жиындарға қолданылатын операциялардың қасиеттері

Айталық U универсумы берілсін. Олай болса " А,В,С Ì U төмендегідей қасиеттер орындалады:Ç,È операцияларының ассоциативтігі

AÈ(BÈC)=(AÈB)ÈC

AÇ(BÇC)=(AÇB)ÇC

2. È,Çоперацияларының коммутативтігі

AÈB=BÈA;

AÇB=BÇA

3. Дистрибутивті заң (үлестіру заңы)

AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC)

AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC)

4. Идемпотенттік заң

AÈA=A; AÇA=A

5. Жұтылу заңы

AÈ(AÇB)=A; AÇ(AÈB)=A

6. Де Морган заңы

=

=

7. Нөл мен бір заңы, айталық 0⇆Æ, 1⇆U онда

АÈÆ=A; AÇÆ=Æ;

AÈ1=1; AÇ1=A;

AÈ =1; AÇ =Æ

8. Қос терістеу заңы (инволютивность)

9. Толықтыру заңы.

; Æ

Жиындарға қолданылатын операциялардың қасиеттерінің дұрыстығына бірнеше тәсілдермен көз жеткізуге болады:

Нақтылы жиындар мен амалдарды орындау арқылы (екі жағынан бірдей нәтиже шығады) ;

Венн диаграммасын сызу арқылы;

Амалдардың анықтамасын пайдалану арқылы.

Ç операциясының ассоциативтігін дәлелдейік:

Дәлелдеуі: Ассоциативті заңды дәлелдеу AÈ(BÈC)=(AÈB)ÈC (Теру заңы); болсын.

1-тәсіл. Амалдарды орындайық. ;

Сол жағы :

Оң жағы: Демек жиындар тең.

2-тәсіл. Диаграммасын салайық:

Диаграммаларының бірдейлігінен жиындар тең деген қорытындыға келеміз.

3-тәсіл.

а)

; Бұдан Енді екінші жағынан,

б)

демек, ; Яғни, AÈ(BÈC)=(AÈB)ÈC