Функциялар мен бейнелеулер

Айталық, А, В жиындарында f Í AхB сәйкестігі бар болсын. Анықтама Егер d_f=A, r_f=B және болғандығынан болса, онда сәйкестігі функция деп аталады ол f : A®B немесе болып жазылады. Бұл анықтамадан функция дегеніміз функционал сәйкестік екендігін көреміз және f функциясының типі А®В деп оқылады. f функциясы анықталу облысының әрбір элементіне (х) мәндер облысынан бір мәнді (у)сәйкестендіреді және у = f (х)болып белгіленеді. ) (х аргумент, у функцияның мәні) болып жазылады (у х-тың образы).Мысалдар: f={(1,2),(2,3),(3,2)} – функция; f={(1,2),(1,3),(2,3)} - функция емес; {(x,x²-2x+3), xÎR} – функция ; бұл функция әдетте y=x²=2x+3 болып жазылады.

АнықтамаТолық анықталған функция f : A®B А-ны В-ға іштей бейнелеу деп аталады.

f : A B ( d_f=A , r _f ÍB) толық анықталған функция

Анықтама Егер r _f = B болса функция сюръективті функция деп аталады.

Анықтама Егер функция толық анықталған (r_f=A) және сюръективті (r_f=B) болса ,онда ол А-ны В-ға толық бейнелеу деп аталады: f : A B болып жазылады.

Анықтама .А А бейнелеу А жиынын түрлендіру, ал А А бейнелеуі А-ға алмастыру деп аталады А А болып та белгіленеді.

f және g функциялары тең болады, егер төмендегі шарттар орындалса:

• Олардың анықталу облыстары біреу -ол Ажиыны;

• Кез-келген а Î A үшін f(a) = g (a).

f: А1´А2´...´Аn ® Втипті функция п –орындыфункция деп аталады.Бұл жағдайда функцияның п аргументі бар деп түсіну келісілген.:f(а1,..., аn)=b, мұндағы а1ÎА1,...,аnÎАn, bÎВ. Айталық, GÍAхB сәйкестігі берілсін. Тек (а,b)ÎG болса ғана (b,a)ÎН болатын HÍBхA сәйкестігі, G-ң кері сәйкестігі деп аталады және G-1 болып белгіленеді.

Анықтама Егер f:A®B сәйкестігіне кері сәйкестік функционалды болса (яғни әрбір bÎr_f үшін бір ғана aÎd_f болса), онда ол f функциясына кері функция деп аталады, f ^-1 болып белгіленеді.

Кері сәйкестікте образ бен прообраздың орындары ауысып келетіндіктен f функциясына кері функция болу үшін f : A®B f функциясының мәндер жиынының әрбір bÎr _f элементінің жалғыз ғана образы болу керек. Бұдан f : A®B функциясы өзінің анықталу облысы мен мәндер облысының өзара бір мәнді сәйкестігі болса ғана оған кері функция болатындығы көрінеді.

Егер h(x) = g(f(x)), мұндағы, хÎА орындалса h:А®С функциясы f және g функцияларының композициясы деп аталады және f(g) белгіленеді.

Көбіне h функциясы f ті g –ң орнына қойғаннан алынды деп айтады.Көп орынды f: А^т ® В, g: Вⁿ® С функциясы үшін f-ті g –ға қоюдың әртүрлі варианттары бар. Нәтижесінде әртүрлі типтегі функциялар алынады. Мысалы, т = 3 және п = 4 үшін h = g (x₁, f(у₁,у₂, у₃), х₃, х₄) функциясында 6 аргумент бар ал оның типі В ´ А³ ´ В2 ® С. Аргументтерін басқаша атап f1,...,fn функцияларын бір-біріне қойғаннан алынған функция f1,...,fn функ-цияларының суперпозициясы деп аталады. Бұл суперпозицияны және функ-ционалдық белгі мен аргументтердің символдарын сипаттайтын өрнек формула деп аталады.

Функциялардың берілу тәсілдері:

• График түрінде;

• Кесте;

• Функцияны басқа функциялардың суперпозициясы түрінде сипаттайтын формула түрінде;

Анықтама. Егер f ^-1 сәйкестігі толық емес функция болса, яғни " x₁, x₂Îd_f үшін, x₁¹x₂ болғандығынан f(x₁)¹f(x₂) болса, f функция инъективті (Инъекция) функция деп аталады..Егер f – инъекция болса f: болып белгіленеді.

Анықтама. Егер r_G = B болса f:A®B функциясы сюръективті (сюръекция) функция деп аталады f: .

Анықтама. Егер f инъективті және сюръективті болса, ол биективті деп аталады: f:A«B

Анықтама. Егер f А-ы В-ң әр түрлі мәндеріне бейнелесе, онда f функциясы өзара бір мәнді сәйкестік немесе биективті функция (биекция) деп аталады. Сонымен, егер функция сюръективті және инъективті болса, функция биекция болады. Егер f А мен В арасындағы биекция болса, f : A«B болып жазылады. F: A«A биекциясы А жиынының (подстановка) алмастыруы деп аталады.

Суретте графиктік түрде функциялар берілген

f₁ – сюръективті, инъективті емес

f₂ – инъективті, сюръективті емес

f₃ – инъективті, сюръективті – биекция

f₄ - инъективті де емес, сюръективті де емес

2- мысал: Үш функцияны қарастырайық

1) инъективті, сюръективті емес

2) сюръективті, инъективті емес

3) биективті;Негізгі әдебиет: 1[10-14]; 2[10-16]

Қосымша әдебиет: 7[9-34]

Бақылау сұрақтары:

1. Сәйкестік,бейнелеу,функциональды бейнелеу дегеніміз не?

2. Қандай бейнелеулер инъективті, сюръективті, биективті деп аталады?

3. Кері функция бар болудың қажетті және жеткілікті шарты?

3-Дәріс. Жиындардың қуаты (2 сағат)