Теоремы сложения вероятностей.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей:

P(A+B)=P(A)+P(B). (1.10)

Следствие 1. Если - попарно несовместные события, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

. (1.11)

Следствие 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий , образующих полную группу, равна 1:

. (1.12)

Следствие 3. События А и несовместны и образуют полную группу событий, поэтому

. (1.13)

Отсюда,

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

. (1.14)

Введем понятие зависимых и независимых событий.

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого (в противном случае события зависимы).

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:

(1.15)

Следствие. Вероятность произведения n независимых событий , ,..., равна произведению их вероятностей:

. (1.16)

Условной вероятностью события В, при условии, что событие А уже произошло, называется число P(AB)/P(A), которое обозначается

.

Аналогично, - условная вероятность события А, при условии, что событие В уже произошло.

Теорема 4. Вероятность произведения 2-х зависимых событий А и В равна произведению вероятности наступления события А на условную вероятность события В при условии, что событие А уже произошло:

. (1.17)

Следствие. Если события А и В независимы, то из теоремы 4 следует теорема 3.

Событие В не зависит от события А, если P(B/A)=P(B).

Теорема 5. Вероятность произведения n зависимых событий - , ,..., равна произведению последовательных условных вероятностей:

.(1.18)

Теорема 6. Вероятность наступления хотя бы одного из событий А₁, А₂,…, А_n равна разности между единицей и вероятностью произведения отрицаний событий А₁, А₂,…, А_n:

. (1.19)

Следствие 1. Вероятность наступления хотя бы одного из событий , , ... , , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

P(A)=1-P( )·P( )·...·P( ). (1.20)

Следствие 2. Если события имеют одинаковую вероятность появиться (P( )=р, P( )=1-р=q, где i=1, 2,…, n), то вероятность появления хотя бы одного из них равна

(1.21)

Замечание. В теоремах 1-6 неявно предполагается, что все события, в рамках каждой теоремы, принадлежат одному пространству элементарных событий.