Стоячие волны. Если в пространстве навстречу друг другу бегут две плос­ких монохроматических волны равной частоты, то в простран­стве

Если в пространстве навстречу друг другу бегут две плос­ких монохроматических волны равной частоты, то в простран­стве, где эти волны накладываются друг на друга, может обра­зоваться стоячая волна. Рассмотрим свойства и условия обра­зования этих волн.

Стоячей волной называется волна, образующаяся в результа­те наложения двух бегущих гармонических волн, которые рас­пространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые ча­стоты и амплитуды, а в случае поперечных волн еще и одина­ковую поляризацию. При сложении двух плоских когерентных волн вида

образуется стоячая волна, описываемая уравнением

Это и есть уравнение стоячей волны. Амплитуда стоячей волны А_впериодическим образом зависит от координаты x:

В стоячей волне имеются такие точки, которые остаются все время неподвижными. Они называются узлами стоячей волны.Положение этих точек определяется из условия

Здесь λ- длина волны. Таким образом, положение узлов на оси хопределяется с помощью формулы

Расстояние между двумя соседними узлами равно λ/2. Точки волны, колеблющиеся с наибольшими амплитудами, называют­ся пучностями стоячей волны. Координаты этих точек опреде­ляются из условия

Это уравнение удовлетворяется при

Расстояние между двумя соседними пучностями также равно λ/2. Перенос энергии через узлы отсутствует.

Пример. Колебания струн.

В случае свободных колебания струны, закрепленной с од­ного или двух концов, в ней возникают стоячие волны. Часто­ты этих волн могут принимать только определенные дискрет­ные значения, называемые собственными частотамиколебаний струны. На жестко закрепленных концах струны располагаются узлы стоячей волны, а на свободном конце — пучности стоячей волны.

Если l— длина струны, а c_ф— фазовая скорость, то в случае струны, закрепленной на обоих концах, на длине lукладывается целое число полуволн λ/2

Собственные частоты колебаний такой струны будут равны

Если возбуждение колебаний производится периодической силой, изменяющейся с частотой ω_п, то струна "резонирует" именно с этой частотой: колебания именно этой частоты будут иметь наибольшую амплитуду, а амплитуды других гармоник, включая основной тон, будут пренебрежимо малы.

Стоячие волны также возникают в специально сконструиро­ванных для них системах — резонаторах. Примерами подобных систем могут служить получившие в настоящее время широкое распространение лазеры.

Фазовая и групповая скорость волн

Фазовая скорость, как было отмечено нами ранее, это ско­рость перемещения в пространстве поверхности равной фазы. Она может принимать различные значения от 0 до со. Эта ско­рость определяется формулой с_ф = ω/k. Групповая скорость это скорость, с которой сигнал перемещается в пространстве. Она также является скоростью перемещения энергии и распро­странения информации в пространстве. Эта скорость не может быть больше, чем скорость света в вакууме (с = 3-10⁸м/с). Она определяется по формуле

Если дисперсия отсутствует, то

При нормальной дисперсии (см. лекцию №32) с_гр < с_ф,а при аномальной дисперсии — наоборот. Если среда обладает сильным поглощением, то понятие групповой скорости теряет смысл.

Лекция №9

Элементы специальной теории относительности

Преобразования Галилея. Принцип относительности в механике

Рассмотрим две инерциальвые системы отсчета. Одну из них, обозначенную на рис. 1 буквой К, будем условно считать неподвижной. Тогда вторая система К' будет двигаться равно­мерно и прямолинейно. Выберем направления осей координат таким образом (как указано на рис. 1), чтобы система К' дви­галась вдоль положительного направления оси х системы К со скоростью v_o-

Связь между координатами произвольной точки Р в систе­мах К и К' определяется уравнениями

которые носят названия преобразования Галилея. Последнее ра­венство t= t' соответствует принятому в классической механи­ке предположению о том, что ход времени не зависит от выбора системы отсчета, т.е. что время абсолютно.

Дифференцируя выражение для координат (1), можно уста­новить закон сложения скоростей в классической механике,

который позволяет определить скорость движения v в системе К как сумму скоростей v' тела в системе К' и скорости движе­ния v_o самой системы отсчета К' относительно системы К.

Ускорения тела в системах К и К' одинаковы

Постулаты специальной теории относительности

Классическая механика Ньютона прекрасно описывает дви­жения макротел с малыми скоростями (о <£ с). Но в конце 19 века возникли трудности при попытках объяснить движение бы­стрых заряженных частиц, а также при изучении скорости рас­пространения света в различных системах отсчета. Знамени­тые опыты Майкельсона-Морли (1881, 1887 гг.) показали, что скорости света в двух движущихся друг относительно друга системах отсчета равны, что противоречило классическому за­кону сложения скоростей (2). Л ля объяснения опытных дан­ных необходимо было создать новую механику, включавшую ньютоновскую механику как частный случай малых скоростей (v -< с). Основы этой теории, получившей название специальной теории относительности или релятивистской теории, заложил А.Эйнштейн.

Постулаты Эйнштейна

1. Принцип относительности.

2. Принцип инвариантности скорости света.
Скорость света в вакууме не зависит от скорости дви-
жения источника света и одинакова во всех инерциальных
системах отсчета.

Преобразования Лоренца

Преобразования Галилея (1) несовместимы с постулатами релятивистской механики. Чтобы показать это, рассмотрим системы отсчета К и К' (рис. 1) в начальный момент времени t = t' = 0, считая, что в этот момент начала координат О и О' совпадают. Предположим, что в этот момент испускается све­товой импульс. Скорость света в К и К' одинакова (с = const). В системе К сигнал дойдет до некоторой фиксированной точки А за время t, пройдя расстояние х = ct. В системе К' координа­та светового импульса в момент достижения точки А составит х' = ct'. Координаты точки А в разных системах различны, х ≠ х'. Отсюда следует, что

т.е. отсчет времени в системах К я К' имеет относительный характер в отличие от случая классической механики, где время течет одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

Найдем преобразование для координат и времени, предпола­гая, что хи tмогут быть линейными функциями только х'и t'и используя аналогию с преобразованием (1). Тогда

где τ — коэффициент пропорциональности, одинаковый вслед­ствие равноправия систем К и К'. Л ал ее для определения ве­личины τ обратимся к рассмотренному выше примеру, когда в начальный момент из начала координат систем К и К' посыла­ется световой сигнал. Координаты

фиксированной точки Аможно выразить, используя преобразо­вание (5):

Перемножая эти соотношения, получим

откуда

где β = v₀/c. Преобразования Лоренца в случае малых скоро­стей (v₀ « с) переходят в преобразования Галилея для класси­ческой механики. В этом заключается принцип соответствия. При v > с выражение (8) теряет смысл, и это согласуется с не­возможностью движения при скоростях, больших скорости све­та.