Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение.

Представим себе цепочку, состоящую из равноотстоящих друг от друга материальных точек, которые связаны пружинками и могут движения, деформируя пружинки. Если сместить от положения равновесия какую-либо частицу, то она начнет совершать колебательное движение и, взаимодействуя через пружинки, вовлечет в колебания соседние частицы. Все частицы будут совершать колебания, тождественные с исходной, но не одновременно, а запаздывая по фазе. Таким образом, колебания будут распространяться в пространстве.

Если смещение от положения равновесия частицы с координатой 0 записать

, (3.1.1)

то для частицы с координатой х

-----------●\/\/\/●\/\/\/●\/\/\/●\/\/\/●----------х , (3.1.2)

0 х где – время, в течение которого

Рис.3.1.1 возмущение распространится от

источника до данной точки. Обозначим скорость распространения возмущения . Тогда и (3.1.2) перепишется . (3.1.3)

Величина – есть та разность фаз, на которую колебания точки на расстоянии х отстают по фазе от колебаний начальной точки. Аргумент косинуса – это фаза волны. Таким образом, фаза волны является функцией координат и времени.

Аналогичным образом процесс будет протекать в упругой среде, поскольку ее частицы взаимодействуют друг с другом похожим образом. Таким образом, процесс колебаний распространяется в пространстве. При этом необходимо отметить, что переноса вещества в пространстве не происходит, частицы среды лишь колеблются около положения равновесия. Распространение в пространстве различных видов возмущений вещества и поля, проявляющееся в переносе энергии возмущения, называется волновым процессом или волной. Если речь идет о колебаниях частиц среды, то волна называется упругой.

Характеристики волны.

Если волна является строго синусоидальной с постоянными во времени частотой , амплитудой и начальной фазой, то она называется монохроматической. Монохроматическое колебание в каждой точке пространства длится бесконечно долго, не имея ни начала ни конца во времени. Поэтому монохроматическая волна является идеализацией и не может быть реализована в действительности.

В зависимости от направления колебаний частиц среды по отношению к направлению распространения волны различают волны продольные и поперечные. В продольной волне направление колебаний параллельно направлению распространения волны. Впоперечной – направление колебаний перпендикулярно направлению распространения.

На рис 3.1.1 показаны колебания частиц, расположенных вдоль оси х. В действительности колеблются не только эти частицы, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника, волновой процесс охватывает все новые части пространства. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Однако среди этих поверхностей существует одна особая, называемая волновым фронтом. Волновым фронтом называется волновая поверхность, отделяющая часть пространства, уже вовлеченного в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Волновые поверхности могут быть любой формы. В зависимости от их формы различают волны плоские, сферические и т.д.

Уравнение (3.1.3) очевидно описывает волну, у которой все точки пространства с одинаковым значением координаты х колеблются в одинаковой фазе. Уравнение х = const есть уравнение плоскости. Таким образом, выражение (3.1.3) описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. В выражении (3.1.3) удобно ввести обозначение . (3.1.4) Величина k называется волновым числом. Тогда (3.1.3) перепишется

. (3.1.5)

Рассмотрим в распространяющейся волне две точки с координатами и такие, что в данный момент времени разность фаз колебаний для них составляет . Это значит, что смещения этих частиц в данный момент одинаковы. Расстояние между точками, разность фаз колебаний в которых равна , называется длиной волны - . Из такого определения следует

.

Поэтому, принимая во внимание связь между циклической частотой и периодом колебаний Т , запишем

, (3.1.6)

откуда следует еще одно определение длины волны. Длина волны это расстояние, которое проходит волна за время, равное периоду колебаний.

Выясним смысл величины , которую мы назвали скоростью распространения возмущения в пространстве. Для этого фиксируем некоторое значение фазы, которое имеет место в момент времени t в точке с координатой х. За время dt это значение переместится на расстояние dx. Тогда

; .

Следовательно, - скорость, с которой фиксированное значение фазы волны перемещается в пространстве. Потому она называется фазовая скорость. Заметим, что в рассмотренном случае положительно, т.е. волна распространяется в направлении оси х. Очевидно, что выражение

(3.1.7)

Также описывает плоскую волну, но распространяющуюся против оси х.

Запишем функцию, представляющую плоскую волну, распространяющуюся в произвольном направлении. Введем вектор , называемый волновым вектором, где - единичный вектор нормали к волновой поверхности. Пусть волновая поверхность отстоит от начала координат на расстояние l (рис.3.1.2). Тогда смещение точки, положение которой определено радиус-вектором запишется

.

Рис.3.1.2. Выразим l через радиус-вектор этой точки. Из

рисунка видно, что l можно представить как скалярное произведение векторов и . Тогда получим

. (3.1.8)

Для соблюдения общности мы ввели начальную фазу . Поскольку можно записать , то выражение (3.1.5) является частным случаем формулы (3.1.8).

Кроме плоских могут существовать волны с другой формой волновой поверхности. В однородной изот­ропной среде волна от точечного источника пред­ставляет собой сферически расходящееся возмущение вида

(3.1.9)

где ₀ — постоянная, ₀/r — амплитуда волны, r - расстояние от источника до данной точки. Ее волновые по­верхности являются сферическими. Отметим, что в выражении (3.1.8) стоит именно k (волновое число), а не волновой вектор , как для плоской гармонической волны. Как видно из (3.1.8), амплитуда сферической волны уменьшается с удалением от источника.

Волновое уравнение.

Прямой подстановкой можно убедиться, что выражение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х (3.1.5) является решением уравнения . (3.1.10)

Это уравнение называется волновым уравнением.

В случае, когда волна распространяется в произвольном направлении, (3.1.8) есть решение общего волнового уравнения

. (3.1.11)