Момента импульса

Скорость изменения момента импульса тела с течением вре­мени равна моменту силы, действующей на тело

dL/dt = M (23)

Отсюда имеем: изменение момента импульса тела за промежу­ток времени dt равно импульсу момента силы за данный проме­жуток времени

dL = Mdt. (24)

Из формул (23), (24) следует, что если момент действующей си­лы М = 0, то момент импульса остается постоянным:

dL/dt = О, L = const. (25)

В этом случае систему можно рассматривать как замкнутую и сформулировать закон сохранения момента импульса:

Сумма моментов импульсов тел, составляющих замкнутую систему, есть величина постоянная.

Аналитически это записывается в виде:

L = const. I₁ω₁ + I₂ω₂ + I₃ω₃ + ^… + I_nω_n= const. (26)

Закон сохранения момента импульса является одним из фунда­ментальных законов природы. Он действует на всех структур­ных уровнях организации материи, как в макромире, так и в микромире. Многие элементарные частицы уже рождаются на­деленные моментом импульса, который является такой же не­отъемлемой характеристикой частицы, как ее масса или заряд. Внутреннее вращение элементарных частиц, благодаря которо­му часть из них обладает спином, является глубинным свой­ством нашего физического мира, до конца еще не понятым.

Практические приложения

закона сохранения момента импульса

Заметим, что эти приложения очень интересны, важны и чрезвычайно разнообразны. Мы остановимся только на неко­торых из них. Для большей наглядности рассмотрим изоли­рованную систему, состоящую из одного вращающегося тела. Тогда вместо (26) имеем I ω = const; отсюда следует, что при увеличении момента инерции тела угловая скорость уменьша­ется, и наоборот. Наиболее интересными в практическом плане являются гироскопы — массивные однородные тела, вращающи­еся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии. Гироскопы применяются в различных навигационных прибо­рах (гирокомпас, гирогоризонт). Другое важное применение гироскопов — поддержание заданного направления движения транспортных средств, например, судна (авторулевой) и само­лета (автопилот). При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий положение оси гироскопа в пространстве сохраняется. Благодаря закону сохранения момента импульса не падают движущиеся мотоциклист и велосипедист, дальше и точнее стреляют нарезные орудия, ось вращения Земли сохра­няет постоянное положение в пространстве.

Лекция №6

Гармонические колебания

Колебания очень широко распространены в природе и техни­ке. Колебательным называется процесс, в котором какая-либо его характеристика последовательно отклоняется то в одну, то в другую сторону от положения равновесия. Колеблются тем­пература воздуха, ствол и ветви дерева, вода в морях и океанах, автомобиль на рессорах, ток в грозовом разряде, магнитное по­ле Земли и т.д.

Колебания бывают периодическими и непериодически­ми. Непериодическое колебание можно разложить на периоди­ческие составляющие. Если возврат к положению равновесия совершается через равные промежутки времени, то колебание называется периодическим. Примером периодического движе­ния может быть: движение маятника, движение ножей косил­ки, вибрация струны, суточные и годичные колебания темпера­туры, отливы и приливы, биение сердца, дыхание, переменный ток, тепловое движение ионов кристаллической решетки и т.д. Из всевозможных периодических колебаний рассмотрим ко­лебания гармонические, происходящие по закону синуса или ко­синуса.

Уравнение гармонического колебания

Рассмотрим равномерное движение материальной точки М по окружности радиуса R = А против часовой стрелки со ско­ростью ω (рис. 1).

При этом проекция N на вертикальный диаметр совершает колебания около положения равновесия О. Примем ОМ = А; ON = х — смещение в любой момент времени t, которое изменя­ется в пределах от +А до -А, совершая при этом периодические колебания.

Поэтому можно записать:

x = Asinφ (1)

но φ = ωt; ω = 2π/T = 2π/v. Получим и другие формы записи гармонического движения:

x = Asinωt, x = Asin 2π/T t, x = Asin 2πvt (2)

Если при t = 0 x ≠ 0, т.е. φ = φ₀ ≠ 0, то уравнение гармониче­ских колебаний примет более общий вид:

x = Asin(ωt + φ₀).

Кинематические характеристики

гармонического колебательного движения

х — смещение материальной точки от положения равновесия в любой момент времени, измеряется в метрах.

А — амплитуда колебаний — максимальное отклонение точ­ки от положения равновесия.

φ — фаза колебания, измеряется в радианах, tp = иЛ + <р₀ — аргумент тригонометрической функции в уравнении гармо­нического колебания. Фаза определяет смещение в любой мо­мент времени, т.е. определяет состояние колебательной систе­мы. Изменение фазы на 2тг соответствует промежутку времени в один период - Г.

φ₀ — начальная фаза колебания.

ω — циклическая частота, измеряется в рад/с.

T — период колебания (время одного полного колебания), измеряется в секундах.

v — частота колебания (число полных колебаний, совершае­мых за единицу времени), измеряется в герцах: 1 Гц = 1/с = с^-1.

Скорость гармонического колебания точки N (рис. 2). Ско­рость v колебания точки N определим как производную смеще­ния (2) по времени:

v= dx/dt = x= ω A cos ω t = ω A sin (ωt + π/2).

Следовательно, скорость v тоже совершает гармонические ко­лебания.

Ускорение гармонического колебания точки N (рис. 2)-. По­скольку скорость v зависит от времени t, то гармоническое ко­лебание совершается с ускорением о, которое определим как производную скорости (3) по времени (или вторую производ­ную смещения по времени)

a=dv/dt= ṽ =d²x/dt² = ẍ= - ω²Asinωt = - ω²x

Следовательно, ускорение а тоже совершает гармонические ко­лебания. ] Сопоставляя выражения для смещения, скорости и ускорения (формулы 1-4), приходим к следующим заключени­ям.

а) И смещение (x), и скорость (v), и ускорение (а) совершают
гармонические колебания с одинаковой циклической часто-
той ω > (одинаковым периодом T = 2ir/ ω = 1/j/).

б) Амплитуды — разные (ф. 1-4), А — у смещения (x), ω А
у скорости (v), ω ²А — у ускорения (а).

в) Начальные фазы —разные. Колебание скорости (v) опережа-
ет колебание (х) на π/2 по фазе или на T/4 по времени.

φ=2π/T*t; ∆t =∆φ T/2π= π/2 * T/2π= T/4

Колебания ускорения (а) опережают колебания (г) на по фазе или на T/2 по времени: t = πТ/{2ω) = T/2. Представим эти заключения в виде таблицы (учитывая, что ω>t = (2π/T)t).

Сила, вызывающая гармонические колебания. При гармониче­ском колебании а = f(t) const, следовательно, гармоническое колебание вызывается переменной силой (F). Под ее действи­ем материальная точка совершает гармоническое колебание с ускорением (a), следовательно:

F = та = -тА ω ² sin ω t = -mw³x = -kx, где k = m ω ². (5)

F = -kx. Знак минус означает, что сила направлена противопо­ложно смещению, т.е. эта сила стремится вернуть материаль­ную точку в положение равновесия. Поэтому сила F называ­ется возвращающей силой, а (к) — коэффициент возвращающей силы. Возвращающей силой может быть сила упругости, но мо­жет быть и квазиупругая сила, т.е. сила любой природы, вели­чина которой прямо пропорциональна смещению из положения равновесия. Зная коэффициент А, можно найти циклическую частоту и период колебания.

к = т ω ², ω = . (6)

Учитывая, что ω = , получим формулу периода пружинно­го маятника

T= ,. (7)

Полная энергия гармонического колебательного движения. При гармоническом колебании происходят периодические взаимные превращения кинетической W_K и потенциальной W_n энергии, об­условленной действием квазиупругой силы. Из этих энергий складывается полная энергия W колебательной системы:

=

(8)

Полная энергия гармонического колебания постоянна и пропор­циональна массе тела, квадрату циклической частоты и квадра­ту амплитуды колебаний.

Элементы теории колебания маятника

а) Физический маятник — твердое тело, совершающее пери­одические колебания относительно горизонтальной оси О под действием силы тяжести Р (ее составляющей F — возвращаю­щей силы). Угол а отклонения маятника длиной l (l — расстояние от точки подвеса до центра масс маятника) от положения равновесия ОО мал: а < 8° = 0,14 рад. Считаем, что а > 0 вправо от оси ОО (рис. 3).

Тогда F = -Psin a = -mgsina -mga =-mg x/l (9)

(знак минус, т.к. а — вправо, a F направлена влево). С другой стороны, рассматривая колебание как вращательное движение

массы (m) по дуге окружности, применим основное уравнение динамики вращения:

M = Iβ; Fl=Iβ или (10)

(а = βR = β1, см. лекцию № 5). Приравнивая правые части выражений (9) и (10), получим

или

Отсюда ω= . Учитывая, что ω = 2/T, получим период колебаний физического маятника

На практике часто физический маятник можно расматривать как математический.

б) Математический маятник — материальная точка, коле­блющаяся на невесомой и недеформируемой нити (рис. 4).

Лля материальной точки момент инерции математического маятника равен / = ml², где тп — масса материальной точки, I — длина нити. Подставляя выражение момента инерции в фор­мулу периода колебаний физического маятника (11), получим

Т =2π . (12)

При малых отклонениях а период колебаний маятника пропор­ционален корню из его длины, обратно пропорционален корню из ускорения свободного падения и не зависит от массы маят­ника.

Рис. 5.

О затухающих колебаниях. Энергия гармонического колеба­ния W ~ А². Потеря на неизбежное трение ведет к постепенному уменьшению амплитуды и, наконец, к полному затуханию колебаний (рис. 5). Вся энергия колебания перейдет в теплоту и колебания прекратятся.

О вынужденных колебаниях. Чтобы сделать колебания неза­тухающими, надо восполнять потерю энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой f = f₀ sinω_вt, назы­ваемой вынуждающей (f₀— амплитуда, ω_B — круговая частота вынуждающей силы).

Такое колебание называется вынужденным. Оно происходит с частотой ω_B (рис. 6). Определим амплитуду вынужденных ко­лебаний, пренебрегая трением и считая, что на тело действует только вынуждающая сила f и возвращающая сила F = -тω²х.

F + f = ma = -тω_в²х или -тω²х + f₀ sinω_вt = -тω_в²х

Откуда

Следовательно, амплитуда

(13)

Амплитуда зависит от соотношения ω и ω_в. При ω_в → ω бу­дет А → ∞ (однако, наличие трения этого не допускает). Рез­кое возрастание амплитуды колебаний при ω→ ω_в называется явлением резонанса. Посредством резонанса можно небольшой вынуждающей силой вызвать сильные колебания системы (часы на нити, мост при строевом шаге и т.п.).

Сложение гармонических колебаний

1. Сложение гармонических колебаний одного напра­вления. Пусть тело одновременно участвует в двух одинако­во направленных колебаниях одинаковой циклической частоты, описываемых уравнениями

x₁=A₁sin(ωt + φ₀₁), (1)

x₂=A₁sin(ωt + φ₀₂), (2)

очевидно (рис. 1), что

x = x₁ + x₂ или (3)

x=Asin(ωt + φ₀), (4)

Необходимо определить амплитуду А результирующего ко­лебания и начальную фазу φ₀. Применяя формулу преобразо­вания синуса суммы и подставляя в (3) выражения (4), (1), (2), получим

Asin ωt * cos φ₀ + Acos ωt *sin φ₀ = A₁sin ωt * cos φ₀₁ + A₁cos ωt *sin φ₀₁+

+ A₂sin ωt * cos φ₀₂ + A₂cos ωt *sin φ₀₂

приведя подобные,

Asin ωt * cos φ₀ + Acos ωt *sin φ₀ = (A₁ cos φ₀₁ + A₂ cos φ₀₂)sin ωt + (A₁ sin φ₀₁+ A₂ sin φ₀₂) cos ωt.

Очевидно, что равенство будет тождественно выполняться при условии равенства коэффициентов при sinurt правой и левой ча­стей и коэффициента при cos ωt правой и левой частей:

Возводя в квадрат и складывая формулы (5) и (6), получим

Вспомнив формулу соs(а ±β) — соsа • cosβ±sina • sinβ, получим

— формула амплитуды результирующего колебания. Поделив равенство (6) на равенство (5), получим

— формула для начальной фазы результирующего колебания.

2. Частные случаи

а) Циклическая частота и начальные фазы одинаковы, ампли­туды различны

Тогда из выражений (8) и (7) следует, что

или, поскольку начальные фазы всех колебаний одинаковы,

б) Циклическая частота и амплитуды одинаковы, канальные фа­зы различны

Тогда из выражений (8) и (7) получим

В этом случае уравнение результирующего колебания будет

При φ₀₂ - φ₀₁=0, 2π, 4π…2nπ, где п = 0,1,2,3,.. А= 2A₁ — амплитуда максимальна. При φ₀₂ - φ₀₁— π, 3π, 5π…(2n+1)n A =0 — колебания взаимно гасятся.

3. Сложение двух взаимно перпендикулярных гармони­ческих колебаний

Пусть тело одновременно участвует в двух взаимно перпен­дикулярных колебаниях одинаковой циклической частоты, опи­сываемых уравнениями

Надо найти уравнение траектории у = f(x)_y исключив из урав­нений слагаемых колебаний время t. Разделив каждое уравне­ние почленно на соответствующую амплитуду и применив фор­мулу синуса суммы, получим

Выполним с последними уравнениями следующие преобразова­ния. Домножим первое и второе равенство на cos φ₀₁ и cos φ₀₂ соответственно и вычтем их друг из друга. Аналогичным обра­зом домножим исходные равенства на sin φ₀₂ и sin φ₀₁ и снова вычтем. В результате получим два новых уравнения

Возводя эти равенства в квадрат и складывая, получим

— это уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сто­ронами 2A₁ и 2А₂ (рис. 2). В результате материальная точка будет двигаться по атому эллипсу по часовой или против часо­вой стрелки (в зависимости от разности фаз).

4. Частные случаи

а) Начальные фазы одинаковы, амплитуды различные

Тогда из формулы (11) следует

Это уравнение прямой, т.е. результирующее колебание про­исходит по наклонной прямой 5, проходящей через положение

равновесия под углом а к направлению колебания х (рис. 3), tga = A₁/A₂.

Результирующее смещение где амплитуда результирующего колебания; тогда

б) начальные фазы различаются на ж/2, амплитуды различные

тогда из (11) получим

Это уравнение эллипса. Следовательно результирующее дви­жение материальной точки совершается по эллипсу, полуоси ко­торого равны амплитудам слагаемых колебаний (рис. 4). Если A₁= А₂ = А, то у¹ + х² = А², т.е. движение происходит по окружности радиусом А.

Направление движения по эллипсу определяется следующим образом. Если φ₀₁ = φ₀₂ +π/2, то уравнения слагаемых колеба­ний примут вид

При t = 0 и у = 0, а. х = A₂, т.е. материальная точка находится в положении (1) (рис. 4 и 5). С ростом t у— будет расти, а x — уменьшается, что соответствует движению против часовой стрелке. Если φ₀₂ = φ₀₁ +3π/2, nj

При t = 0 и у = 0, а. х = - A₂,т.е. материальная точка находится в положении 2 (рис. 5). С ростом t, у— увеличивается, а x — уменьшается, что соответствует движению по часовой стрелке.

Зависимость характера результирующей траектории от раз­ности фаз ∆φпредставлена на рис. 6.

Если гармонические колебания совершаются под углом а (а ≠π/2), то проведя две взаимно перпендикулярные оси, одна из которых совпадает с гармоническим колебанием 2 (рис. 7), разложим затем гармоническое колебание 1 на два составляю­щих 1' и 2' по этим осям.

Тогда задача сведется к сложению двух однонаправленных гармонических колебаний 2 и 2' и затем сложению результиру­ющего гармонического колебания с перпендикулярным гармо­ническим колебанием 1'.

Умея складывать два любых гармонических колебания, мож­но сложить и любое их число.

Лекция № 8 Волны

Волной называется процесс распространения колебаний в пространстве. Волны принято подразделять на продольные и поперечные.

Продольной называется такая волна, у которой колебания со­вершаются в направлении распространения волны. Примером являются звуковые волны в газах и жидкостях, часть волн в упругих средах. Поперечной называется волна, у которой ко­лебания происходят в направлении, перпендикулярном по от­ношению к направлению распространения волны. Примером являются световые волны, волны на поверхности воды, часть волн в упругих средах.

Монохроматической (гармонической) называется волна, у ко­торой колебания в зависимости от времени происходят по зако­ну синуса или косинуса;

Здесь з — величина, колебания которой мы рассматриваем (на­пример, колебания давления для звуковой волны или колебания напряженности электрического поля в электромагнитной волне и т.п.); А — амплитуда колебаний, φ(t, у, z)= ωt + φ₁(х, у, z) — фаза колебаний. В случае произвольной зависимости от време­ни волновое возмущение можно представить как суперпозицию гармонических колебаний.

Фазовым фронтом называется геометрическое место точек в пространстве, колеблющихся в одинаковой фазе

При фиксированном моменте времени t = const это требование сводится к условию :

Плоской волной называется волна, у которой фазовый фронт является плоскостью. Наряду с плоскими, можно рассматри­вать и другие формы волновых фронтов, например, сфериче­ские, цилиндрические и т.п. Однако любую другую волну мож­но представить как суперпозицию плоских волн.

Лучом называется траектория, по которой движется волно­вое возмущение в среде. Лучи ориентированы перпендикулярно по отношению к фазовым фронтам. В случае однородной среды для плоской волны лучи являются прямыми линиями. В слу­чае плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси х, уравнение (1) принимает вид:

Здесь ω — циклическая частота волны, к = ω/с_в— волно­вое число, с_в— скорость распространения волны (фазовая ско­рость), φ₀ — начальная фаза. Имеют место также соотношения: Т = 2п/φ — период колебаний волны, λ = с_в• Т — длина волны, к = 2π/λ.

Соотношение (4) называется уравнением бегущей волны. Знак " -" соответствует волне, бегущей в положительном на­правлении оси х, а знак " +" волне, бегущей в отрицательном направлении оси а;. Уравнение, описывающее поверхность рав­ной фазы, в этом случае можно записать в форме:

Дифференцируя (5) по времени, имеем;

Отсюда

Знаки "+" и "-" соответствуют волнам, бегущим в положитель­ном и отрицательном направлениях оси х.Дифференциальное волновое уравнение, соответствующее (4), имеет вид:

Вывод этого уравнения для электромагнитных волн дан нами в лекции № 31.

Волны называются когерентными, если разность фаз этих волн в любой точке пространства не зависит от времени. При сложении когерентных волн, поляризованных вдоль одинаковых направлений, наблюдается явление интерференции, т.е. взаим­ного усиления и ослабления волн. В некоторой точке волны максимально усиливают друг друга, если разность фаз между волнами равна нулю (или четному числу π рад). Волны также максимально ослабляют друг друга, если разность фаз в данной точке равна π (или нечетному числу π рад). Подробнее явление интерференции рассмотрено в лекции № 33.

Распространяясь в пространстве с течением времени, волны переносят энергию. Рассмотрим, как рассчитать поток энергии, связанный с волнами различных типов.

Упругие волны. В этом случае атомы упругой среды (напри­мер, металла) совершают гармонические колебания. Полная энергия одного колеблющегося атома равна

где m — масса атома, v_max— амплитуда скорости при колеба­тельном движении атома, ω — циклическая частота колебаний, А— амплитуда смещения. Если концентрация атомов равна n, то очевидно, что полная энергия, связанная с колебательным движением частиц среды, заключенная в единице объема, рав­на:

Здесь р = пт— плотность среды. Тогда очевидно, что энергия, переносимая волной в единицу времени через единицу площа­ди поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения волн, определяется модулем вектора Умова:

Величина |I| также называется интенсивностью волны. Вектор с_B ориентирован в направлении распространения волны.

Электромагнитные волны. В этом случае плотность энергии электромагнитного поля, связанного с волной, определяется по формуле

Здесь Е— напряженность электрического поля волны, H — на­пряженность магнитного поля волны, ε₀ — электрическая посто­янная, μ₀— магнитная постоянная, ε — диэлектрическая про­ницаемость вещества, μ— магнитная проницаемость вещества.

Энергия, связанная с электрическим и магнитным полем вол­ны, одинакова: (ε₀εЕ²/2 = μ₀μН²/2). Из (12) следует, что

Учитывая, что (см. лекцию № 31) и то, что — перпендикулярна как к Е,так и к Н,найдем

Этот вектор называется также вектором Умова-Пойнтинга. Он, согласно (14), определяется с помощью векторного произведе­ния векторов Eи Н.

Электромагнитные волны, как и любые другие физические волны, производят давление на встречающиеся на их пути пре­пятствия, поглощающие и отражающие эти волны. Давление электромагнитных волн объясняется тем, что под влиянием электрического поля волны заряженные частицы вещества при­ходят в упорядоченное движение и подвергаются со стороны магнитного поля волны действию сил Лоренца.