Следствия из преобразований Лоренца

1. Относительность одновременности событий. Из пре­образований Лоренца вытекает, что если два независимых со­бытия происходят в системе К в один и тот же момент времени (t₁ = t₂)ив одном месте (х₁ = х₂), то в системе К' эти события также будут происходить в одной точке (х'₁ = х'₂) и одновремен­но (t'₁ = t'₂). В том случае, когда события в системе К разоб­щены (х₁ ≠ х₂), но одновременны (t₁ = t₂),в системе К'эти независимые события разобщены (х'₁ ≠ х'₂)и неодновременны (t'₁ ≠ t'₂).

2. Относительность длительности событий (промежутков времени). Пусть в системе К’в одной точке х'₁ = х'₂ =a проис­ходит событие, длительность которого ∆τ = t'₁ = t'₂.Согласно

преобразованию Лоренца (8) для времени в системе Кэто со­бытие будет длиться в течение промежутка времени

Из (9) вытекает, что длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в системе отсчета, относительно которой эта точка покоится. Собственное время∆τ, отсчитан­ное по часам, неподвижным относительно тела, всегда меньше, чем время ∆t, отсчитанное по часам, движущимся относительно тела. В пределе малых скоростей (v « с) длительности событий ∆t ≈∆τ.

3. Относительность длины(размеров) тел. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х'и покоящийся относи­тельно системы К'.Клина его в системе К'равна l₀ = х'₂ - х'₁ (рис. 2).

В системе Кскорость стержня v₀, координаты концов х₁и х₂надо отметить в один и тот же момент времени t₁ = t₂=t Длина стержня в системе Кравна l= х₂ — х₁.Чтобы найти связь между lи l₀, используем преобразования (8):

Линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной систе­ме отсчета, относительно которой тело покоится (l₀ > l).При этом поперечные размеры тел одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

4. Релятивистский закон сложения скоростей.Скорости ма­териальной точки вдоль оси х(рис, 1, 2) в системах Ки К'определяются как v_x = dx/dtи v'_x — dx'/dt'.Согласно преобра­зованиям Лоренца (8)

Разделив в (11) первое равенство на второе, получим реляти­вистский закон сложения скоростей:

Пусть скорость v'_x = с. Тогда

что является следствием постулата о постоянстве скорости све­та во всех системах отсчета. В приближении малых скоростей v« с имеем v_x= v'_x = v₀, т.е. классический закон сложения скоростей (2).

Основной закон релятивистской динамики для материальной точки

В конце 19 века на опытах с быстро движущимися электрона­ми было установлено, что масса тела зависит от его скорости, возрастая с увеличением скорости по закону

где m_o — масса покоя, измеренная в неподвижной относительно тела системе отсчета, am — релятивистская масса, измерен­ная в системе отсчета, движущейся со скоростью v. При v < с т = m_o = const. Основной закон динамики в релятивистской механике имеет вид:

где р — релятивистский импульс:

Уравнения (14) и (15) внешне совпадают с основным уравнением классической механики, если в качестве массы брать реляти­вистскую массу т (13), но (14-15) инвариантны по отношению к преобразованию Лоренца (8). Взамкнутой системе реляти­вистский импульс системы сохраняется (р= const).