Понятие функционального. Степенной ряда

Функциональный же ряд состоит из функций:

=

В общий член ряда j, обязательно входит переменная, которая может обозначаться привычной для математики « х-икс» или «z –зет» или другая буковка.

Например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде: =

Все члены функционального ряда …– это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Определение: Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной x. Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где – это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Простейший пример:

Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях.

Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: или , где a – константа.

Например:

Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда , или

не совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например:

Или такой степенной ряд:
= ….

Лишь бы показатели степеней при «иксах» были натуральными.