Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Dx) > f(x2) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

 

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

 

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

 

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

 

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1 максимум.

Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

, т.е.

Тогда

По определению:

 

т..е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x1) £ 0.

 

А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x1) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

 

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

 

Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) =

 

y y

 

 

x

 

x

 

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-

водной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

 

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

 

Доказательство.

 

Пусть

 

По теореме Лагранжа имеем: f(x) – f(x1) = f¢(e)(x – x1), где x < e < x1.

 

Тогда: 1) Если х < x1, то e < x1; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x1)<0, следовательно

 

f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).

 

2) Если х > x1, то e > x1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x1)<0, следовательно

 

f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).

Так как ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x1) в любых точках вблизи х1, т.е. х1 – точка максимума.

 

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично. Теорема доказана.

 

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

 

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

 








Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 880;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.