Исследование функций

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:
- найти область определения и область значений;
- выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность;
- найти точки пересечения с осями координат;
- определить участки знакопостоянства.
2. Асимптоты:
- найти вертикальные асимптоты , если
- найти наклонные асимптоты: y=kx+b,
Если k=0, b - любое число, то y=b – горизонтальные асимптоты.
3. Исследование с помощью y’ - найти критические точки, те. точки в которых или не существует;
- определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых и убывания функции – ;
- определить экстремумы: точки, при переходе через которые меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума.
4. Исследование с помощью :
- найти точки, в которых или не существует;
- найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых и вогнутости – ;
- найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые меняет знак.
5. Построение графика функции.
Рекомендации по применению плана исследования функции:
1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.
2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.
3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).
4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

, то естьпри дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание: предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.***************************

Примеры исследования функции:

20.

1)

2) Функция нечетная:
.
3) Асимптоты.
x-1, x+1 – вертикальные асимптоты, т.к.


Наклонная асимптота y=x

=

– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

21.
1)
2) Функция нечетная:

3) Асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные:

наклонные асимптоты

4) – функция возрастает.

5)
– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

22.
1)
2) Функция общего вида
3) Асимптоты

– наклонных асимптот нет

y=0 – горизонтальная асимптота при
4)

– точка перегиба

Схематичный график данной функции:

23.
1)

2) Асимптоты.

– вертикальная асимптота, т.к.

– наклонных асимптот нет
, – горизонтальная асимптота
Схематичный график данной функции:

24.
1)
2) Асимптоты
x=0 – вертикальная асимптота при , т.к.

– наклонных асимптот нет
y=1 – горизонтальная асимптота
3) < 0 – функция убывает на каждом из промежутков.
Схематичный график данной функции:

2.4.3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке можно воспользоваться схемой:
1. Найти производную функции .
2. Найти критические точки функции, в которых или не существует.
3. Найти значение функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку и на его концах и выбрать из них наибольшее и наименьшее .
Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке.
25. на промежутке
1)
2) – критические точки
3) ,
–
–

26. на промежутке .

Прозbводная не существует при , но 1 не принадлежит данному промежутку. Функция убывает на промежутке , значит, наибольшего значения нет, а наименьшее значение .
7 8 9 ... 13

Задание для самостоятельной работы
Исследовать функцию на экстремумы.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
Задача 16. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x,y) в данной замкнутой области.
1. Z= в прямоугольнике
2. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой
3. в прямоугольнике

4. в области, ограниченной параболой
и осью абсцисс.
5. в квадрате
6. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой
7. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой
8. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой
9. в области, ограниченной параболой
и осью абсцисс.
10. в области, ограниченной параболой
и осью абсцисс.

Пример. Найти предел . (куда её?)

Так как 1 – cosx = при х®0, то .