Производная функции, заданной неявно

Неявная функция-это функции f(x,y)=0, в которой переменные x и y расположены «вперемешку». Например, 4 . Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс».

Находить производную от функции, заданной неявно, в общем то, не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, переменная у воспринимается как сложная функция.

Пример 1. Продифференцируем обе части выражение .

Решение.

=4 2 =

8x =0

Теперь сгруппируем элементы равенства и выразим выражение явно относительно производной y’:

8x =0 или

Таким образом, если предствить функцию в виде F(x.y)=0, то можно записать формулу производной в виде:

Пример 2.

Найти производную от функции, заданной неявно

Навешиваем штрихи на обе части:

Используем правила линейности:

Находим производные:

Раскрываем все скобки:

Переносим все слагаемые с в левую часть, остальные – в правую часть:

В левой части выносим за скобку:

Окончательный ответ: