Производная сложной функции.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто. Правило дифференцирования сложной функции в общем виде таково: . Можно так сказать: «производная сложной функции равна произведению производных»

Здесь у нас две функции – u и v, причем функция v, образно говоря, вложена в функцию u. Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией. Например, y=lnsinx.

Здесь в логарифм вложена функция синус. Поэтом в начале берём производную от логарифма, а затем производную от аргумента, т.е. от синуса.

Пример двойного вложения. = =

Другие примеры

Найти производную функции:

1.у= =28

Здесь главной является степенная функция. Соответственно производня берются по правилам степенной функции:

2.Найти производную. Здесь в символах u(v) главной является функция arctg, а аргументом является , поэтому по таблице производных распишем:

3. Найти производную y= ; Здесь главной функцией является степенная зависимость, которую лучше представить в виде y= и далее применить формулу

4. Сравните результаты производных двух функций: y= и y=sin .

и

5. Найти производную функции y=y=

Здесь имеется корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

=

= = .

6. Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного

= =

= .

7. Найти производную функции y= . Число 22 являтся основанием показательной функции.

Это есть показательная функция, которая дифференцируется по правилу:

, т.е. эта функция вначале повторяется. затем умножается на натуральный логарифм от основания и далее берётся производная от степени. Твким образом, имеем:

=

8.Найти производную y=

Когда в показательной функции основанием является не число, а функция, такая функция называется сложно показательной функцией. Вычисление производной при этом производится через логарифмирование функции по формуле:

y= lny=ln ;

. Таким, образом можем для данной функции записать:

= 3lnsin2x+3x

Или окончательно:

Производная функции, заданная параметрически

Пусть задана функция y=f(x) через параметр t:

x=x(t) и y=y(t). Необходимо определить производную . Выразим эту производную через отношения дифференциалов:

= - это есть производная первого порядка.

Определим теперь производную второго порядка. Для этого представим вычисление второй производной как повторная производная от первой производной:

=

Пример.

1. Найти первую и вторую производные от функции.

x = 3

y = cos2t

Решение .

=

Задание для самостоятельной работы

Найти производную функций: Ответы:

1. y= 1.

2. y= 2.6

3. y=

4. y=ctg2x

5.y=

.