Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости

Рассмотрим установившееся (стационарное) точение идеальной (без трения) жидкости в трубке тока. Поперечное сечение трубки тока в различных местах может быть неодинаковым, и в соответствии с этим меняется скорость течения. Струя жидкости нигде не претерпевает разрыва. Из этого условия неразрывности струи следует, что произведение скорости несжимаемой и невязкой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная.

Пусть за время масса жидкости втекает в один конец выделенной части трубки через сечение , где скорость и давление (рис. 9.5). За это же время через другое сечение трубки тока , где скорость жидкости равна и давление , вытекает такая же масса жидкости . При установившемся (стационарном) течении в выделенной части трубки не происходит ни накапливания, ни расходования энергии. Следовательно, энергия, передаваемая за время через сечение , должна быть равна энергии, передаваемой за то же время через сечение . За время через сечение проходит масса жидкости . Ее кинетическая энергия равна и потенциальная энергия тяжести равна (где - ускорение силы тяжести и - высота центра тяжести сечения над некоторым уровнем, например, уровнем моря).

Следовательно, за время через сечение конвекционно передается энергия

Однако, кроме конвекционной передачи энергии, в данном случае еще имеет место передача энергии тягой, а именно, жидкость, находящаяся позади, производит работу, направленную на продвижение жидкости, находящейся впереди. Энергия, передаваемая тягой за время через сечение , равна, очевидно, работе, которую жидкость, находящаяся позади сечения , производит за то же время , т.е. рана произведению силы на путь . Таким образом, энергия, передаваемая за время через сечение , состоит из трех слагаемых:

Согласно условию неразрывности струи объем жидкости, втекающей в трубку за время , т.е равен объему жидкости, вытекающей за тот же промежуток времени из трубки тока: = . Разделим обе части предыдущего уравнения на эти равные друг другу объемы, учтя, что масса жидкости, деленная на ее объем, представляет собой плотность жидкости, т.е :

=

(9.7)

В этом уравнении называется статическим давлением, - гидравлическим давлением, - динамическим давлением.

Уравнение (9.7) получено в 1738 году Бернулли и называется уравнением Бернулли.

В суженной части трубки тока скорость жидкости больше, чем в остальном потоке. Поступая в узкую часть трубки тока, жидкость двигается ускоренно; следовательно, на жидкость, втекающую в узкую часть трубки тока, действуют со стороны жидкости, еще находящейся в широкой части трубки, некоторая сила. Очевидно, что эта сила возникает вследствие разности статических давлений в широком и узком местах трубки. Сила направлена в сторону узкой части трубки; значит, в широких местах трубки давление больше, чем в узких. Иными словами, в местах сужения трубки тока давление понижено.

При горизонтальном течении жидкости сумма статического и динамического давлений остается величиной постоянной. Эту сумму называют полным давлением.

Статическое давление измеряют с помощью манометра, неподвижного относительно текущей жидкости. Практически бывает достаточно взять манометр, плоскость отверстия которого расположена параллельно линиям тока (трубка на рис. 9.6).

Полное давление измеряют манометром, отверстие которого расположено перпендикулярно к линиям тока (трубка на рис. 9.6); попав в отверстие, жидкость «теряет» свою скорость. Динамическое давление в этой трубке будет равно нулю, оставшееся статическое давление будет равно сумме статического и динамического давлений текущей жидкости, следовательно, манометр покажет полное давление.

Изображенная на рис. 9.6 трубка носит название трубки Пито.

Уравнение Бернулли было выведено в предположении, что сумма кинетической энергии и потенциальной энергии тяжести текущей жидкости остается неизменной. В действительности же некоторая часть указанной энергии расходуется на работу, направленную против сил трения. В связи с этим жидкость нагревается, и энергия молекулярно-теплового движения жидкости, которую мы считали постоянной и поэтому не учитывали, возрастает. Мы предполагали также, что частицы жидкости не проходят сквозь боковую поверхность трубки тока. В действительности же тепловое движение нарушает течение жидкости по определенным линиям тока.

Поэтому к весьма вязким жидкостям уравнение Бернулли неприменимо. Но для таких жидкостей, как вода, а также для воздуха уравнение Бернулли практически является достаточно точным.

При горизонтальном течении сумма статического и динамического давлений остается постоянной величиной, поэтому в струе статическое давление всегда бывает меньше, чем в неподвижной жидкости, и при больших скоростях может стать даже отрицательным. В этом случае жидкость, протекающая по узкой части трубы, будет находиться в состоянии всестороннего растяжения, а так как прочность жидкости на разрыв велика, то отрицательное давление может достигнуть значительной величины. Однако, когда давление падает до нуля, обычно происходит разрыв жидкости – это так называемое явление кавитации. При кавитации происходит интенсивное перемешивание жидкости, что приводит к резкой потере скорости течения жидкости – возникает гидравлический удар, сопровождающийся сильным шумом, а при определенных условиях и к разрыву трубы.

Если давление в широкой части трубы равно атмосферному, то давление в узкой части трубы будет меньше атмосферного. На этом явлении основано действие ряда приборов, например, инжектора, водоструйных насосов, карбюратора.