Адиабатное течение газа

Течение, при котором скорость газа убывает, а плотность, давление и температура растут, называется течением со сжатием. Следует подчеркнуть, что здесь слово «сжатие» относится к термодинамическому состоянию потока, к отдельному объему газа, а отнюдь не к площади поперечного сечения трубопровода; при не слишком больших начальных скоростях газа в расширяющемся трубопроводе газ затормаживается, кинетическая энергия его уменьшается, а температура и плотность растут, т.е. имеет место течение со сжатием.

Течение, при котором кинетическая энергия потока растет, а плотность, давление и температура уменьшаются, называется течением с расширением. Рассмотрим оба случая течения в отдельности.

Течение с расширением имеет место, например, при истечении газа из камеры реактивного двигателя.

При адиабатном течении с расширением прирост кинетической энергии вызывается убылью теплосодержания и падением температуры:

(9.11)

Падение температуры сопровождается уменьшением давления и плотности газа ; когда расширение газа происходит равновесно, можно воспользоваться уравнением Пуассона

Следовательно,

(9.12)

Здесь согласно уравнению Майера .

Пусть из баллона, где давление газа и температура , газ адиабатно вытекает через отверстие площадью в резервуар, в котором давление («противодавление») . При небольших перепадах давления (когда превышает не более чем в 1,8-1,9 раза), давление газа в вытекающей струе равно противодавлению . В этом случае согласно уравнению (9.12) скорость истечения определяется формулой:

(9.13)

Здесь - статическое давление в вытекающей струе.

Весовой расход газа ( в ) равен произведению площади поперечного сечения отверстия (в ) на скорость истечения (в ) и на плотность вытекающего газа ( в ):

По мере уменьшения противодавления давление в вытекающей струе будет уменьшаться, а вместе с ним будет адиабатно уменьшаться по закону Пуассона и плотность вытекающего газа; скорость истечения будет расти.

Весовой расход газа через данное отверстие определяется двумя величинами: плотностью и скоростью истечения газа. Первая из этих величин, , с уменьшением убывает, а вторая, , наоборот, растет. Расход газа с уменьшением противодавления первое время увеличивается за счет быстрого увеличения скорости; затем расход замедляется за счет заметного уменьшения плотности и, наконец, становится постоянным: каким бы малым ни было противодавление, расход газа будет иметь одну и ту же величину.

Таким образом, оказывается, что когда противодавление составляет примерно половину давления в баллоне, то дальнейшее уменьшение противодавления является бесполезным для повышения скорости истечения и расхода газа. В струе устанавливается некоторое критическое значение скорости истечения, давления, температуры и плотности газа, которые уже более не изменяются, как бы в дальнейшем не уменьшали противодавление. Если до этого момента давление на выходе в струе оставалось равным противодавлению , то с указанного момента при истечении газа с критической скоростью у выходного отверстия устанавливается скачок давления , так как уменьшение уже не будет больше вызывать уменьшения .

Скорость газа, вытекающего из отверстия или из сужающегося насадка, не может быть больше критической скорости:

(9.14)

Понижение температуры в струе при критическом истечении согласно уравнению Пуассона и формуле (9.13) равно:

Таким образом, , и, стало быть, формулу (9.14) можно переписать так:

Критическая скорость равна скорости, с которой распространяется звук при имеющейся в струе температуре . Ни при каком сколь угодно большом давлении в баллоне газ не может вытекать из отверстия со скоростью, большей, чем скорость звука.

Максимальный расход газа при критическом течении определяется формулой

Чтобы понять физические причины, обуславливающие существование критических параметров в струе вытекающего газа, представим себе, что противодавление вдруг резко снижено (хотя бы до нуля). Если скорость истечения к этому времени уже достигла скорости звука, то это никак не отразится на термодинамическом состоянии газа.

Регулируя режим течения газа определенным выбором профиля трубопровода, можно использовать избыточное давление, возникающее в струе при критическом истечении, и реализовать скорости течения, превышающие скорость звука. Физически эта задача заключается в том, чтобы изыскать условия, при которых неупорядоченное молекулярно-тепловое движение в газе, который уже движется со скоростью звука, частично превратить в упорядоченное движение и, таким образом сообщить массе газа скорость, превышающую критическую скорость истечения. С этой целью Лавалем, Стентоном и Франклем были разработаны сверхзвуковые сопла (рис. 9.8).

В сопле Лаваля скорость газа непрерывно растет: в сужающейся части сопла скорость возрастает от нуля до звуковой величины, в расширяющейся части сопла скорость возрастает от звуковой до сверхзвуковой величины. Давление газа по мере приближения к выходу из сопла падает; при уменьшении давления (за критическую величину) скорость истечения растет медленнее, чем уменьшается плотность; поэтому увеличение скорости должно обеспечиваться расширением сопла: выходное сечение больше критического.

При больших относительных перепадах давления понижение температуры газа, текущего по расширяющемуся соплу, бывает очень значительным. Так, например, когда , , то температура вытекающей струи воздуха понижается почти на .

Течение со сжатием характеризуется уменьшением скорости потока и возрастанием давления, плотности и температуры газа. Согласно уравнению (9.10) убыль кинетической энергии вызывает прирост теплосодержания и повышение температуры:

(9.15)

Отсюда относительное повышение теплосодержания при адиабатном течении со сжатием до полного затормаживания потока получается равным

Здесь величина пропорциональна квадрату скорости звука: известно, что скорость звука в газах ; с другой стороны, , следовательно, .

Итак, относительное повышение теплосодержания зависит только от отношения начальной скорости газа к скорости звука в потоке до торможения газа.

Отношение скорости течения к скорости звука (от которого зависит изменение параметров газа при сжатии) называют числом Маха, или числом Берстоу, и обозначают символом М:

М=

Вводя это обозначение в предыдущее уравнение, получаем

М

(9.16)

Следовательно, если ( М ),то уменьшение сечения сопла приведет к увеличению скорости потока (дозвуковой поток увеличивается с уменьшением сечения сопла). Если же ( М ),тогда расширение сопла приведет к увеличению скорости потока – сверхзвуковой поток будет увеличиваться с увеличением сечения сопла.