Тригонометрические ряды Фурье для четной, нечетной функций

Напомним, что если функция f(x) определена на отрезке и является четной, т.е. для всех выполняется равенство f(-x)=f(x) и , а если является нечетной, т.е для всех выполняется равенство f(-x)=-f(x), то .

Произведение четной функции на четную или нечетной на нечетную является четной функцией. А произведение четной на нечетную является нечетной функцией.

Пусть f(x)- четная кусочно-непрерывная функция задана на отрезке .

Тогда тригонометрический ряд Фурье принимает вид:

соответствующие коэффициенты:

Если функция f(x) на этом отрезке нечетная, тогда:

Замечание: основная тригонометрическая система функций является ортогональной на любом отрезке длиной . Если функция f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом ,то соотношения (4),(5) позволяют вычислить коэффициенты Фурье ее ряда Фурье по основной тригонометрической системе на отрезке :

Так как интеграл от периодической функции с периодом T по отрезку длиной T не изменяется, когда отрезок интегрирования сдвигается вдоль числовой оси.

Замечание: Рассмотрим функцию f(x), заданную на отрезке и удовлетворяющую на нем условиям теоремы Дирихле. Разложим эту функцию на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье. В такой постановке задача не имеет однозначного решения, так как она многовариантна.

1.Эту функцию можно разложить в тригонометрический ряд Фурье на отрезке , как на произвольном отрезке . В этом случае сумма S(x)полученного ряда будет -периодической функцией.

2. Можно доопределить данную функцию в полуинтервале произвольным образом, лишь бы полученная функция на отрезке продолжала удовлетворять условиям теоремы Дирихле. Разложим эту функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке и, рассмотрев сумму данного ряда только на отрезке , получим еще одно представление исходной функции f(x) на отрезке в виде тригонометрического ряда Фурье. В этом случае сумма S(x) полученного ряда будет -периодической функцией.

Если доопределим исходную функцию четным образом, то получим тригонометрический ряд Фурье, не содержащий членов с синусами. Такое разложение называют разложением в тригонометрический ряд Фурье по косинусам.

Если доопределим исходную функцию нечетным образом, то получим разложение в тригонометрический ряд Фурье по синусам.

3.Если первоначально функция задана на отрезке , ее можно доопределить на произвольном отрезке , содержащем отрезок , так чтобы полученная функция продолжала удовлетворять на отрезке условиям теоремы Дирихле. Затем разложить доопределенную функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке и рассматривать его сумму только на отрезке . Сумма этого ряда Фурье функции f(x) на отрезке будет -периодической функцией, причем .