Свойства равномерно сходящихся рядов

Замечание: Если два функциональных ряда и сходятся на множестве X равномерно, то всякая их линейная комбинация , где a,bÎR так же является равномерно сходящимся рядом на множестве X.

Теорема Если функции непрерывны в точке ряд - равномерно сходящийся на множестве X, то его сумма так же непрерывна в точке .

Доказательство.

Напомним определение: Функция непрерывна в точке , если она определена в этой точке, существует предел функции в этой точке и равен значению функции в точке, т.е. или

1) Ряд - равномерно сходящийся

Последнее неравенство выполняется для , в том числе и для любого фиксированного , т.е.

2) Частичная сумма ряда - функция - непрерывна, как сумма конечного числа непрерывных функций она непрерывна и в точке .

Оценим разность

т.е. , т.е. функция - непрерывна в точке

Следствие 1. Если сумма функционального ряда с непрерывными членами разрывна в области , то этот ряд в области сходится неравномерно.

Следствие 2 В равномерно сходящемся ряде возможен почленный переход к пределу, т.е.

Т.к. - непрерывная функция, то

Пример

Исследовать характер сходимости ряда на сегменте 0£x£1

при х=0 0+0+0+… ряд сходится;

при х=1 0+0+0+… ряд сходится;

Частичные суммы ряда

.

Тогда предел частичных сумм

Остаток ряда .

Следовательно, данный ряд сходится неравномерно на исследуемом отрезке.

Примечание. Если функциональный ряд непрерывных на сегменте функций сходится на этом сегменте к разрывной функции, то ряд сходится неравномерно.

Замечание (следствие теоремы о непрерывности суммы неравномерно сходящегося ряда)

Если сумма S(x) функционального ряда с непрерывными членами разрывна в области X, то этот ряд в области X сходится неравномерно.

Следствие : В равномерно сходящемся ряде возможен почленный переход к пределу. – сходится равномерно тогда S(x) - непрерывная функция.

т.е.

Теорема (о почленном интегрировании функционального ряда).

Если функциональный ряд с непрерывными членами сходится кфункции S(x) равномерно на [a,b], то его можно почленно интегрировать на любом отрезке и справедливо равенство:

(1)

и ряд сходится равномерно на отрезке [a;b].

Доказательство:

1.Согласно теореме о непрерывности равномерно сходящегося функционального ряда функция непрерывна на отрезке [a;b], следовательно, она интегрируема на любом отрезке .

2. Ряд сходится равномерно на отрезке [a;b] это означает, что

Обозначим:

Оценим разность:

Для , следовательно, ряд сходится на отрезке [a;b] равномерно к функции , т.е. справедливо равенство (1).

Пример:

Исследовать на сходимость ряд .

Рассмотрим ряд:

Для любого действительного числа , а ряд - сходящийся, следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд - сходится равномерно на всей числовой оси.

Проинтегрируем его на отрезке [0;x]

По теореме о почленном интегрировании функциональных рядов он сходится равномерно на всей числовой оси.

Теорема ( о почленном дифференцировании функционального ряда)

Если функциональный ряд с непрерывно дифференцируемыми на отрезке [a;b] членами сходится к функции S(x), а ряд – сходится равномерно на этом отрезке, то исходный ряд - сходится равномерно на[a;b] , его сумма S(x) – непрерывно дифференцируемая функция и справедливо равенство

(2)

Доказательство:

Обозначим через .

Проинтегрируем это равенство на

(Левая часть полученного равенства дифференцируема по x , следовательно, и правая часть дифференцируема по x) тогда , следовательно, справедливо равенство (2).

Равномерная сходимость ряда следует из предыдущей теоремы.

Пример:

Найти сумму ряда:

Ряд сходится при . .

сходится при , т.е. сходится равномерно по признаку Вейерштрасса, – сходится,

§4 Степенные ряды

Определение: Ряд вида:

(1)

где - действительные числа – называется степенным рядом по степеням , - коэффициенты степенного ряда.

При α=0, получаем ряд

(2)

В дальнейшем будем рассматривать ряды вида (2) т.к. ряды вида (1) приводится к виду (2) заменой переменной x-a=t.

Для степенных рядов справедлива

Теорема (теорема Абеля).

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале и сходится равномерно на отрезке -q£x£q, .

Доказательство :