Занятие №19. Экстремум функции двух переменных

№1. Исследовать на экстремум следующие функции

;

Примечание: если точка является точкой экстремума функции то или хотя бы одна из этих производных не существует. Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными. Пусть функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку тогда:

1) если

то точка является точкой экстремума для данной функции, причем точкой максимума, если и точкой минимума при ;

2) если то в точке экстремума нет;

3) если то экстремум может быть, а может и не быть.

№2. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке

Примечание: если поверхность задана уравнением то уравнение касательной плоскости в точке к данной поверхности

а каноническое уравнение нормали, проведенной через точку поверхности

Когда уравнение поверхности задано в неявном виде то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

а уравнение нормали –

№3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области ограниченной заданными линиями: