Занятие №16. Дифференциал функции. Правило Лопиталя

№1. Найти дифференциалы функций

№2. Найти если

№3. Найти если

№4. Сравнить приращение и дифференциал функции

Примечание:

Разность между приращением и дифференциалом есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с равная

№5. Вычислить и для функции при и

№6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Примечание: воспользуемся формулой Полагая имеем

Следовательно, приближенное значение площади круга составляет

№7. Имеется металлический куб с ребром см. При нагревании ребро удлинилось на см. Насколько увеличился объем куба?

Примечание: объем куба тогда Увеличение объема эквивалентно дифференциалу так что Полное вычисление дало бы В этом результате все цифры, кроме первой, ненадежны, значит, следует округлить до

№8. Найти приближенное значение

Примечание:

№9. Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Примечание: Решая предел

мы видим, что возникает неопределенность Обозначим данную функцию через т.е. и прологарифмируем ее

Вычислим предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя

Следовательно,

Примечание: Решая предел

,

мы видим, что возникает неопределенность Положим и прологарифмируем

Применяя правило Лопиталя, получим

т.е.

Примечание: Решая предел

мы видим, что возникает неопределенность Логарифмируя и применяя правило Лопиталя, получим

Таким образом,