Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью распределения вероятностей

т.е. распределение определяется двумя параметрами

Вероятностный смысл этих параметров: математическое ожидание; среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины

Введем новую переменную

Первое слагаемое равно нулю (так как под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат); второе слагаемое – интеграл Пуассона

т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру

По определению дисперсия непрерывной случайной величины, учитывая, что определяется формулой

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис. 76).

Рис. 76

Кривая Гаусса

Изменение величины параметра не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к сдвигу вдоль оси вправо, если возрастает, и влево, если убывает. Максимум дифференциальной функции нормального распределения равен

Следовательно, с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси

При любых значениях параметров и площадь ограниченная нормальной кривой и осью остается равной единице. При нормальную кривую называют нормированной

Вероятность попадания в заданный интервал

Рассмотрим пример. Случайная величина распределена по нормальному закону. Математическое ожидание Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу