Свойства числовых характеристик случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда пользуются числами, которые описывают случайную величину суммарно, такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины.

К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание, оно приближенно равно среднему значению случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, следовательно, стреляет лучше.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина может принимать только значения вероятности которых соответственно равны Тогда математическое ожидание случайной величины определяется равенством

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Рассмотрим пример. Необходимо найти математическое ожидание случайной величины , зная закон ее распределения:

	0,1	0,6	0,3

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности

Пусть произведено испытаний, в которых случайная величина приняла раз значение раз значение …., раз значение причем

Тогда сумма всех значений, принятых , равна

Среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний

или

Заметим, что отношение

– относительная частота значения

– относительная частота значения и т.д., тогда

Если число испытаний достаточно велико, относительная частота приближенно равна вероятности появления события

Тогда

Таким образом,

Вероятностный смысл данного результата заключается в том, что математическое ожидание приближенно равно (чем больше испытаний, тем точнее) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Математическое ожидание характеризует расположение распределения, так как на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. Термин – математическое ожидание – связан с началом возникновения теории вероятностей, когда область ее применения было ограничено азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша.

Свойства математического ожидания.

1)Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

2)Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

3)Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

4)Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

Рассмотрим пример. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью 0 (промах) с вероятностью Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания, т.е. Аналогично находятся математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов. Искомое математическое ожидание находят по теореме о математическом ожидании суммы:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку называют определенный интеграл

Рассмотрим пример. Найти математическое ожидание случайной величины заданной функцией распределения

Найдем плотность распределения вероятностей

Найдем математическое ожидание по данной формуле

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Рассмотрим пример. Найти дисперсию случайной величины , которая задана следующим законом распределения

	0,1	0,6	0,3

Найдем математическое ожидание

Запишем закон распределения случайной величины

	0,1	0,6	0,3

Найдем математическое ожидание случайной величины

Искомая дисперсия

Свойства дисперсии.

1)Дисперсия постоянной величины равна нулю

2)Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

3)Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

4)Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения принадлежат отрезку то

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служит среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины называют квадратный корень из дисперсии

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством

Контрольные вопросы

1. Какие величины называют случайными?

2. Привести примеры дискретных и непрерывных случайных величин.

3. В каком виде записывается закон распределение дискретной случайной величины и закон распределения непрерывной случайной величины?

4. Что определяет функция распределения вероятностей?

5. Перечислить основные свойства функции распределения и функции плотности распределения случайной величины.

6. Возможно, ли вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу, зная функцию плотности распределения непрерывной случайной величины?

7. Что характеризует математическое ожидание случайной величины?