Двойной интеграл и его свойства

Если интегральная сумма

при имеет предел, равный числу то этот предел называется двойным интегралом от функции по области и обозначается

где функция называется интегрируемой в области область интегрирования, переменные интегрирования, элемент площади. В данном случае предполагается, что ограничена, что является необходимым условием интегрируемости.

Для нахождения достаточных условий интегрируемости, как и в случае с одной переменной, удобно воспользоваться теорией сумм, которая полностью переносится на случай двойного интеграла.

Функция непрерывная в замкнутой ограниченной области интегрируема в этой области.

Не следует считать, что двойной интеграл существует только для непрерывных функций.

Функция ограниченная в замкнутой ограниченной области и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций или интегрируема в этой области.

Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла.

1)Если произвольное число и функция интегрируема в области то функция тоже интегрируема в области

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2)Если функции и интегрируемы в области то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области

3)Если область является объединением областей и не имеющих общих точек, в каждой из которых функция интегрируема, то в области эта функция также интегрируема

4)Если функция непрерывна в области то в этой области найдется такая точка что

где площадь фигуры