Уравнение прямой в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и определять заданием двух уравнений первой степени.

Пусть в прямоугольной системе координат задана произвольная прямая которая получилась в результате пересечения двух плоскостей и уравнениями

Эти два уравнения определяют прямую в том случае, если векторы

не коллинеарны.

Таким образом, система уравнений, состоящая из уравнений двух плоскостей, определяет уравнение прямой в пространстве

Для решения задач данная система, определяющая прямую в пространстве, является не всегда удобным представлением прямой. В этом случае используют специальный вид уравнений прямой.

Пусть дана прямая и ненулевой вектор лежащий на данной прямой или параллельный ей. Вектор называется направляющим вектором данной прямой.

Запишем уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор коллинеарен направляющему вектору т.е. когда координаты этих векторов пропорциональны

- это есть каноническое уравнение прямой.

Рис. 23

Линия в пространстве

Чтобы перейти от уравнения

к уравнению

необходимо:

1) найти которая принадлежит для этого следует задать числовое значение одной из переменных и подставить его вместо соответствующей переменной в уравнение

решив систему определить две другие координаты;

2) найти направляющий вектор так как прямая определена пересечением плоскостей и то она перпендикулярна векторам и Поэтому вектор можно взять как

Рассмотрим пример. Записать каноническое уравнение прямой

Пусть тогда

Следовательно

Так как

то направляющий вектор прямой

Запишем уравнение заданной прямой в каноническом виде

Иногда прямую полезно задавать в параметрическом виде. Например, в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Каждое из отношений

равно частному от деления вектора

на коллинеарный вектор Обозначим это частное через Тогда

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. Когда величина (параметр) принимает различные значения, точка движется по прямой, при она совпадает с положительным и отрицательным значениям отвечают точки, расположенные на прямой по разные стороны от

Для определения точки пересечения прямой и плоскости следует задать прямую в параметрическом виде и переменные выраженные через параметр, подставить в уравнение плоскости. Получим уравнение с одной переменной найдем ее. Вернемся к параметрическому виду прямой и найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.