Каноническое уравнение эллипса и его характеристики

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек , называемых фокусами, есть величина постоянная Расстояние между фокусами эллипса называется фокусным расстоянием и обозначается

Общее уравнение эллипса

где большая полуось, малая полуось, координаты центра эллипса.

Если центр эллипса находится в начале координат и фокусы эллипса находятся на оси на равных расстояниях от начала координат, то уравнение примет вид

причем,

Рис. 13

Эллипс с центром в начале координат

Отношение фокусного расстояния к большой оси, т.е. называется эксцентриситетом (мера сжатия)

Эксцентриситет и коэффициент сжатия эллипса связаны соотношением

Директрисы эллипса.

Пусть дан эллипс

Рис. 14

Дирректрисы эллипса

с большой осью и эксцентриситетом

Отложим от центра эллипса на его большой оси отрезки

Прямые, проходящие через точки и параллельно малой оси называются директрисами эллипса.

Для любой точки эллипса отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету т.е.

Рассмотрим пример. На эллипсе

найти точку, разность фокальных радиус-векторов которой равна 6,4.

Рис. 15

Согласно уравнению эллипса определим расстояние от цента эллипса до фокусов

тогда

Кроме того,

Составим систему и решим ее

Получим

так как

Вывод: таких точек может быть две