Линейные преобразования

Будем говорить, что на множестве векторов задано преобразование если каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор

Преобразование называется линейным, если для любых векторов и и для любого действительного числа выполняются равенства

Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор в самого себя.

Тождественное преобразование обозначается

Рассмотрим трехмерное пространство с базисом в котором задано линейное преобразование Применив его к базисным векторам, мы получим векторы принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса

Матрица

называется матрицей линейного преобразования в базисе Столбцы этой матрицы составляются из коэффициентов в формулах преобразования базиса.

Матрицей тождественного преобразования является единичная матрица

Для произвольного вектора результатом применения к нему линейного преобразования будет вектор который можно разложить по векторам того же базиса где координаты можно найти по формулам:

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы

Обратный переход от нового базиса

к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е.