Уравнения Лагранжа

Для определения уравнений движения в обобщенных координатах обратимся к общему уравнению динамики:

Пусть система имеет k степеней свободы. Тогда

Подставляя в общее уравнение динамики, получим:

или

где – обобщенные силы инерции, которые равны

Так как , то

(1)

Выразим обобщенную силу через кинетическую энергию. Имеем

, (2)

так как

Заметим, что

Подставим полученные выражения в уравнение (2):

Тогда уравнение (1) примет вид:

где Т – кинетическая энергия.

Аналогичные выражения получаем для всех остальных обобщенных координат. Поскольку , то

Это дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа II-го рода (уравнения в частных производных). Число этих уравнений равно числу степеней свободы системы.

Основные преимущества использования уравнений Лагранжа при решении задач:

1) количество уравнений не зависит от количества тел, входящих в систему;

2) данный способ позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные реакции связей.

Пример.Механизм робота-манипулятора состоит из колонны для вертикального перемещения, устройства для горизонтального перемещения, состоящего из звеньев 1 и 2, и выдвигающейся горизонтальной руки со схватом 3. Массы звеньев механизма т₁, т₂и т₃. Движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно F₀₁, F₁₂ и F₂₃. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь.

Решение.

Рассматриваемая механическая система имеет три степени свободы. Выберем обобщенные координаты: , тогда обобщенные скорости выразятся как

Вычислим кинетическую энергию системы. Т.к. звенья 1, 2 и 3 двигаются поступательно, то

Вычислим частные производные от кинетической энергии:

;

; ; .

Далее, дифференцируя по времени, получим:

Для определения обобщенной силы сообщим системе перемещение . При этом работу совершит движущая сила , направленная вверх, и силы тяжести всех 3-х звеньев: