Экспериментальное определение коэффициента восстановления

Величина k определяется экспериментально. Рассмотрим, например, шар, свободно падающий на плиту с предварительно измеренной высоты Н. Определим высоту его подъема h после удара.

Тогда по формуле Галилея , а и, следовательно, .

Для некоторых материалов значения коэффициента восстановления (при скоростях соударения порядка 3 м/сек)составляют: дерево о дерево – 0,5, сталь о сталь – 0,56, слоновая кость о слоновую кость – 0,89, стекло о стекло – 0,94.

Прямой центральный удар двух тел (удар шаров)

При соударении двух тел удар называется прямым и центральным, если общая нормаль к поверхностям тел в точке касания проходит через их центры масс и если скорости центров масс в начале удара направлены по этой общей нормали. Таким, в частности, будет удар двух однородных шаров, центры которых до удара движутся вдоль одной и той же прямой. В противном случае удар называется косым.

Обозначим массы соударяющихся тел т₁ и т₂, скорости их центров масс в начале удара V₁ и V₂, а в конце удара – u₁ и u₂. Проведем через центры масс C₁ и С₂ координатную ось х, направленную всегда от C₁ к С₂ . Тогда, чтобы произошел удар, должно быть выполнено условие (иначе первое тело не догонит второе). Кроме того, должно выполняться условие , так как ударившее тело не может опередить ударяемое. Легко проверить, что эти неравенства выполняются и в случаях, когда оба тела движутся влево или навстречу друг другу.

Считая m₁, т₂, и k известными, найдем . Для этого применим теорему об изменении количества движения к соударяющимся телам, рассматривая их как одну систему. Тогда ударные силы, действующие между телами, будут внутренними, и имеет место выражение .

В результате первое из уравнений (4) дает

.

Второе уравнение найдем из выражения для коэффициента восстановления. При соударении двух тел интенсивность удара (ударный импульс) зависит не от абсолютного значения скорости каждого из тел, а от того, насколько скорость ударяющегося тела больше скорости тела ударяемого, т. е. от разности (скорости сближения). Поэтому при ударе двух тел, если учесть, что всегда , а ,получим:

(6)

или

. (7)

Уравнение (7) позволяет решить поставленную задачу. Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, найдем, составив уравнение для какого-нибудь одного из тел, например, для первого:

.

Последнее равенство следует из третьего закона Ньютона.

Рассмотрим два предельных случая.

Абсолютно неупругий удар (k = 0). В этом случае из уравнения (6) находим, что оба тела после удара движутся с одной и той же скоростью:

.

Действующий на тело ударный импульс при этом равен

.

Абсолютно упругий удар (k = 1). В этом случае будем иметь:

Действующий на тело ударный импульс при этом равен

.

Как видим, при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом. В частном случае, когда т₁ = т₂ = т, получаем

.

Таким образом, два тела одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями.

Пример.Два шара с массами т₁ и т₂ подвешены так, как показано на рисунке. Первый шар отклоняют от вертикали на угол a и отпускают без начальной скорости. После удара второй шар отклоняется на угол b. Найти коэффициент восстановления для шаров при ударе.

Решение.

По данным задачи можно определить скорость V₁ центра первого шара в начале удара и скорость V₂центра второго шара в конце удара. По теореме об изменении кинетической энергии (на перемещении первого шара) находим:

,

где – расстояние центра шара от точки подвеса.

Отсюда

.

Аналогично находим, что

.

Вследствие того, что в нашем случае V₂ = 0, имеем:

.

Исключая из этих уравнений u_1x и замечая, что , а , получим:

.

Отсюда окончательно находим:

.