Связь между энергией и импульсом частицы

Ясно, что полная энергия E и импульс p частицы имеют разные значения в разных системах отсчета. Оказывается, однако, что существует величина — некоторая комбинация E и p, которая является инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение в разных системах отсчета. Эта величина есть E² - p²c². Убедимся, что это так.

Воспользовавшись формулами Е = mc² и p = mu, запишем

или после сокращения

(1.10.18)

Тот факт, что скорость u в правой части сократилась, означает независимость величины от скорости частицы, а следовательно, и от системы отсчета. Другими словами, величина ( ) действительно является инвариантом и имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета:

(1.10.19)

Этот вывод чрезвычайно важен: он позволяет, как будет видно из дальнейшего, во многих случаях резко упростить анализ и решение различных вопросов.

Приведем еще два полезных соотношения, с которыми приходится часто встречаться. Первое:

. (1.10.20)

второе — связь между импульсом и кинетической энергией K частицы; его легко получить, подставив в (1.10.18) , тогда

(1.10.21)

Последнее соотношение при K « m₀c² переходит в ньютоновское: , а при K » m₀c² приобретает вид p = K/c.