Закон распределения Максвелла—Больцмана

Распределения Максвелла и Больцмана являются составными частями единого распределения - распределением Гиббса

Оба разобранных нами распределения можно объединить в один закон распределения Максвелла—Больцмана, согласно которому число dN молекул, у которых координаты и проекции скоростей лежат в интервалах

определяется выражением

(1.11.19)

где нормировочный множитель .

Микро – и макросостояния. Статистический вес.

Состояние макроскопической системы (макроскопического тела) может быть задано различными способами:

1. задать координаты и скорости всех микрочастиц (молекул), из которых состоит макросистема – задание динамического состояния;

2. разделить фазовый объем на бесконечно малые элементы и, перенумеровав все микрочастицы, указать какие частицы находятся в каждом малом элементе объема - задание микросостояния;

3. указать сколько частиц находится в каждом малом объеме – задание макросостояния.

Поясним понятие фазового объема. Предположим, что частица может двигаться только вдоль одного направления (одномерное движение). Тогда, если ввести систему координат, откладывая по одной оси координату, а по другой – ее импульс, то точка на этой плоскости будет характеризовать состояние частицы. Такая плоскость называется фазовой плоскостью. По аналогии можно представить себе воображаемое шестимерное пространство, где по трем осям откладываются координаты частицы, а по трем другим – проекции ее импульса. Это фазовое пространство, объем в этом пространстве – фазовый объем. Точка в таком пространстве характеризует состояние любой частицы.

Очевидно, что первый способ описания состояния бесперспективен.

Поговорим о двух других способах. Если все частицы системы одинаковы, то не важно, какие именно частицы окажутся в данном малом объеме фазового пространства. Однако, количество частиц в каждом элементе этого объема весьма важно для описания состояния системы. Как следует из определения, каждому макросостоянию может соответствовать определенное число микросостояний. Число различных микросостояний, соответствующих данному макросостоянию, называется статистическим весом или термодинамической вероятностью Г.

Поясним понятие статистического веса. Рассмотрим систему, состоящую из свободных частиц. Состояние каждой из них определено точкой в фазовом объеме. Разделим весь фазовый объем, в котором могут находиться эти точки, на две равных половины. Оценим число микросостояний, соответствующих одному макросостоянию. Для простоты будем полагать, что число частиц системы равно четырем. Число макросостояний, для данной системы равно пяти: в каждой половине объема может находиться по две точки; в одной половине одна, в другой – три; все точки в одной половине. Способы размещения точек по объемам 1 и 2 приведены в таблице. Как видно из таблицы, число способов реализации состояния, когда все точки находятся в одной половине объема, (число способов реализации данного состояния) равно 1. Всего способов размещения точек по объему . Следовательно, вероятность такого состояния равна . Из этой же таблицы видно, что статистический вес состояния с равномерным распределением точек по объему равен 6, а вероятность этого состояния .

Таким образом, увеличение статистического веса свидетельствует об увеличении вероятности данного состояния.

Таблица 1.11.1.

Номер то состояния ни	Состояние число число молекул молекул в первой во второй половине половине	Способы реализации состояний   № молекулы № молекулы в первой во второй половине половине	Число спосо- бов релизации данного состояния (стат.вес Г)
	0 4	- 1,2,3,4
	1 3	1 2,3,4 2 1,3,4 3 1,3,4 4 1,2,3
	2 2	1,2 3,4 1,3 2,4 1,4 2,3 2,3 1,4 2,4 1,3 3,4 1,2
	3 1	1,2,3 4 1,2,4 3 1,3,4 2 2,3,4 1
	4 0	1,2,3,4 -
		Всего способов	2 = 16

Энтропия

Как следует из приведенных рассуждений, вероятность данного состояния макросистемы пропорциональна ее статистическому весу Р ~ Г. Поэтому в качестве характеристики вероятности состояния можно было бы взять величину Г. Однако, как можно показать, такая характеристика не обладает свойством аддитивности. Если система состоит из нескольких подсистем, то ее статистический вес равен произведению статистических весов подсистем. Кроме того, для макросистемы, состоящей из огромного числа части, Г очень большая величина.

Поэтому в качестве характеристики вероятности состояния принимается величина S, пропорциональная натуральному логарифму статистического веса

Г . (1.11.20)

Определенную таким образом величину называют энтропией.

Из сказанного выше следует, что, если изолированная система переходит из менее вероятного состояния в более вероятное, этот процесс сопровождается увеличением энтропии. Когда же система придет в равновесное состояние (характеризующие ее параметры перестанут изменяться), энтропия будет максимальна.