Задачи к главе 9 для самостоятельного решения

9.1. Определить натяжение нити, связывающей два шарика объемом V=10см³ каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего? Плотность воды ρ=1000 кг/м³.

F_нат=ρg V / 8.

9.2. Два шарика радиусами r₁ и r₂сделаны из материала плотностью ρ₁ и ρ₂ и соединены невесомым стержнем длиной l. Затем вся система помещена в жидкость плотностью ρ (ρ < ρ₁ и ρ < ρ₂). В какой точке стержня нужно прикрепить подвес, чтобы вся система находилась в равновесии при горизонтальном положении стержня?

от шара плотностью r₁.

9.3. В сообщающиеся сосуды диаметрами D₁и D₂ налита вода. Как изменится уровень воды в сосудах, если положить кусок дерева массой m в первый сосуд? Во второй сосуд? Плотность воды r.

_.

9.4. В сосуд с водой опущена длинная трубка сечением S = 2см². В трубку налито m=72 г масла (ρ_м = 900 кг/м³ ).Плотность воды ρ_В = 1000 кг/м³. Найти разность уровней масла и воды.

Δh = m (ρ_в - ρ_м ) / S ρ_в ρ_м .

9.5. При подъеме груза массой m = 2000 кг с помощью гидравлического пресса совершена работа А= 40 Дж. При этом малый поршень сделал n= 0 ходов, перемещаясь за один ход на h = 10 см. Во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого?

S₂/S₁ = nhmg /A.

9.6. Из воды с глубины h₁=7 м кран поднимает чугунную плиту массой m=1400 кг. Найти совершенную работу, если плита была поднята на высоту h₂=5 м над водой. Плотность чугуна 7000 кг/м³. Считать g=10 м/с². Плотность воды ρ_в известна.

А = mg[ h₁(1- ρ_ч /ρ_в) + h₂ ].

9.7. Полый шар (внешний радиус R₁, внутренний R₂), сделанный из материала плотностью r₁, плавает на поверхности жидкости плотностью r₂. Какова должна быть плотность rвещества, которым следует заполнить внутреннюю полость шара, чтобы он находился в безразличном равновесии внутри жидкости?

r = [R₁³ (r₂ - r₁) + R₂³ r₁] ( 1 / R₂³).

9.8. Один конец нити закреплен на дне, а второй прикреплен к пробковому поплавку. При этом 0,75 всего объема поплавка погружено в воду с плотностью ρ_в. Определить силу натяжения нити, если масса поплавка m= 2 кг и плотность пробки r_п = 250 кг/м³ . Массой нити пренебречь.

T = mg (3ρ_в /4r_п - 1).

9.9. Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в 4 раза больше плотности материала шарика. Определить силу сопротивления F жидкости при движении в ней шарика, считая ее постоянной. Масса шарика m=10 г.

F=3mg.

9.10. В цилиндрический сосуд налита ртуть и поверх ртути масло. Масса масла в 2 раза меньше массы ртути. Сосуд заполнен до высоты h=30 см. Определить давление на дно сосуда, если плотность ртути r_р=1,36 ×10⁴ кг/м³ , а плотность масла r_м=900 кг/м³.

P=3r_мr_рgh/(r_р+2r_м).

9.11. С какой скоростью вытекает вода из узкого отверстия в дне бака, наполненного до высоты h=4,6 м? Вязкость не учитывать.

.

Пример 10.1.

На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость V₀ спутника составляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время ₀=0,5 года.

Dt-?

_____________________

V₀=7,9 км/ч=7,9·10³ м/с,

t₀=0,5 года=15768000 с.

Решение.

Очевидно, что релятивистское замедление хода часов Dt=t-t₀, где t – время в системе отсчета К’, движущейся вместе со спутником со скоростью V₀ относительно "неподвижной" системы отсчета К, связанной с Землей. Так как (см. ) местное время t на спутнике равно

,

то:

.

Для нахождения времени запаздывания Dt можно воспользоваться следующим приближением:

.

Подставляя численные значения, имеем:

.

Пример 10.2.

Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью L=0,1 мкм. При какой относительной скорости U двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина L₀ которого равна 1 м.

U-?

_______________

DL = 0,1 мкм=10^–7 м,

L₀ = 1 м.

Решение.

В соответствии с формулой (10.26) для Лоренцевского сокращения длины запишем:

,

где введено обозначение b=U/c.

Релятивистское сокращение длины можно было бы обнаружить при условии, что

,

или

. (*)

Разрешая соотношение (*) относительно b получим:

.

Проводя преобразования и опуская малую величину (DL)² имеем для U выражение:

Подставляя численные значения, имеем:

U=13,4·10⁴ м/с.

Пример 10.3.

Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость V₁=0,4/с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения β-частицу со скоростью V₂=0,75 с относительно ускорителя. Найти скорость U₂₁ частицы относительно ядра.

U₂₁ – ?

__________

V₁=0,4 с,

V₂=0,75 с

с=3×10⁸ м/с.

Решение

Релятивистское сложение скоростей осуществляется по закону (10.30):

. (*)

Из формулы (*) следует, что

.

В результате последовательных преобразовании имеем:

и

.

Подставив численные значения, получим

.