Квазистационарные цепи переменного тока

Переменным током называют электрический ток, изменяющийся со временем. К переменному току относят различные виды импульсных, периодических и квазипериодических токов. Наиболее употребителен переменный ток, сила которого I меняется во времени по гармоническому закону. В электротехнике и довольно часто в радиотехнике реализуются квазистационарные цепи переменного тока, для которых мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи одинаковы ввиду медленного их изменения, в то время как электромагнитные возмущения по цепи распространяются со скоростью света. Для мгновенных значений силы и напряжения квазистационарных токов справедливы законы постоянного тока: закон Ома и закон Джоуля–Ленца. Ранее, рассматривая цепь постоянного тока мы получили закон Ома для неоднородного участка цепи (см. форму- лу (56.5)). В случае квазистационарных токов необходимо учитывать наличие явления электромагнитной индукции, которое вызывает появление добавочной ЭДС вследствие неравной нулю правой части второго уравнения Максвелла: . Этой добавочной электродвижущей силой в данном случае будет ЭДС самоиндукции . Поэтому закон Ома для квазистационарных процессов запишется в виде

. (108.1)

Квазистационарные токи и поля существуют по двум причинам. Во-первых, среди нестационарных токов есть такие, которые подобно стационарным протекают в замкнутых цепях и в каждом сечении любого неразветвленного участка цепи имеют одну и ту же силу тока. Во-вторых, область, в которой исследуется влияние полей, оказывается настолько ограниченной по размерам, что электромагнитные возмущения (волны) преодолевают ее практически мгновенно. Строго говоря, в любой точке пространства и в каждый момент времени переменное поле соответствует не тому распределению зарядов, которое имеет место в данный момент времени, а тому, которое было несколько раньше. Это запаздывающее согласование обусловлено фундаментальным свойством природы – ограниченностью скорости передачи любых материальных воздействий. В пустом пространстве электромагнитные возмущения (волны) распространяются со скоростью света. По этой причине полю, возникшему около зарядов, нужно некоторое время, чтобы достичь выбранной точки. С этим однако можно не считаться, если за время распространения поля распределение зарядов изменяется пренебрежимо мало. Тогда и будет выполняться условие квазистационарности тока. При этом существенно то, что квазистационарным поле может быть лишь в ограниченной области; на достаточно больших расстояниях необходимо учитывать запаздывание.

Большинство пассивных электрических цепей работает в линейном режиме, когда справедлив принцип суперпозиции. Форма гармонической переменной тока в такой цепи не искажается, в то время как наличие нелинейных элементов (трансформаторов, нелинейных преобразователей, диодов и т. п.) вызывает искажение гармонических сигналов, у них появляются высокочастотные составляющие. Квазистационарные цепи с сосредоточенными параметрами могут быть составлены как комбинации элементов: катушек индуктивности L, конденсаторов С и резисторов R. В линейных режимах величины L, C, R либо постоянны, либо зависят от времени; в нелинейных режимах они являются функциями силы тока.

С ростом частоты квазистационарное приближение перестает быть справедливым и для расчета цепей переменного тока необходимо обращаться непосредственно к уравнениям Максвелла.

1. Цепь, содержащая активное сопротивление (рис. 108.1, а)

Активным называют сопротивление, потребляющее энергию электрического тока, которая в соответствии с законом Джоуля–Ленца превращается в тепловую энергию. Активным является сопротивление резисторов. Пусть на резистор подано переменное напряжение, мгновенное значение которого определяется формулой

, (108.2)

где – амплитуда напряжения. По закону Ома,

, (108.3)

где – амплитуда силы тока в цепи резистора. Тогда формулу (108.3) можно записать в виде

. (108.4)

2. Цепь, содержащая конденсатор (рис. 108.2, а)

При включении конденсатора в цепь переменного тока происходит его периодическая перезарядка с частотой . По цепи при этом протекает электрический ток.

В любой момент времени заряд на обкладках конденсатора

. (108.5)

Так как , то на основании формулы (108.5) получаем:

. (108.6)

Амплитуда силы тока в цепи контура равна

. (108.7)

Объединяя формулы (108.6) и (108.7), имеем

. (108.8)

Падение напряжения на конденсаторе равно

. (108.9)

Сравнивая выражения (108.8) и (108.9), заключаем, что напряжение в цепи, содержащей конденсатор, отстает по фазе от тока на . Векторная диаграмма для этого случая представлена на рисунке 108.2, б.

Из формулы (108.7) видно, что . На основании закона Ома делаем вывод, что это выражение определяет сопротивление конденсатора в цепи переменного тока, т. е.

. (108.10)

Для постоянного тока , поэтому , а это означает, что постоянный ток не может течь через конденсатор.

3. Цепь, содержащая катушку индуктивности (рис. 108.3, а)

В любой момент времени

. (108.11)

Из формул (108.2) и (108.11) имеем

.

Отсюда получаем:

.

Интегрируя это выражение, находим:

, (108.12)

где амплитуда силы тока

. (108.13)

Объединяя выражения (108.12) и (108.13), получаем:

. (108.14)

Падение напряжения на катушке индуктивности равно

. (108.15)

Сравнивая выражения (108.2) и (108.14), заключаем, что напряжение в цепи, содержащей катушку индуктивности, опережает по фазе ток на . Векторная диаграмма показана на рисунке 108.3, б.

Из формулы (108.13) видно, что . На основании закона Ома делаем вывод, что это выражение определяет сопротивление катушки индуктивности в цепи переменного тока, т. е.

. (108.16)

Индуктивное сопротивление не потребляет энергии электрического тока, т. е. является реактивным. В первую четверть периода при возрастании тока в магнитном поле катушки запасается энергия. В следующую четверть периода при убывании тока энергия магнитного поля возвращается в электрическую цепь. Далее все повторяется. Следовательно, в катушке индуктивности не происходит рассеивания энергии электрического тока. Говорят, что индуктивность – недиссипативный элемент, в ней не растрачивается (не "диссипирует") электрическая энергия. То же самое относится и к конденсатору. Однако не следует забывать, что катушки изготавливаются из провода, обладающего некоторым активным сопротивлением, в котором происходит выделение джоулева тепла.

Таким образом, в цепи переменного тока резисторы обладают активным сопротивлением, конденсаторы и катушки индуктивности – реактивным.

4. Цепь, содержащая последовательно соединенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор (рис. 108.4, а)

В этом случае полное сопротивление цепи переменному току (импеданс цепи) Z определяется выражением

, (108.17)

а сила тока в цепи

. (108.18)

Формулу (108.18) называют законом Ома для переменного тока.

При пропускании переменного тока по такой цепи на ее элементах возникают падения напряжения: , и . Векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе ( ), катушке индуктивности ( ) и конденсаторе ( ) представлена на рисунке 108.4, б. Разность фаз между током и напряжением определяется отношением реактивного сопротивления к активному: