Вынужденные электромагнитные колебания. Закон Ома для переменного тока.

Переменный ток можно рассматривать как установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор. Мыбудем рассматривать квазистационарные токи,для которых мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа.

Рассмотрим процессы, происходящие в цепи, содержащей последовательно включённые резистор, катушку индуктивности, конденсатор и источник переменной Э.Д.С., изменяющейся по гармоническому закону:

ε = ε_o cosw t, (82)

где ε_o -амплитуда электродвижущей силы.

В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения U_R, U_L, U_C . Будем считать, что внутреннее сопротивление источника э.д.с. пренебрежимо мало по сравнению с R. По закону Ома для участка цепи 1- L- R-2 имеем:

IR =( φ₁ -φ₂)- L(dI/dt) +ε₀ cosωt, (83)

где φ₂ - φ₁ = q/C - мгновенное значение разности потенциалов обкладок

конденсатора, q - его заряд в этот же момент времени, - L(dI/dt) - э.д.с. самоиндукции в контуре. Возьмём производную по времени от обеих частей равенства (145). Учитывая, что dq/dt = I - ток в контуре, получим:

(84)

Учитывая, что R/L = 2δ, 1/ (ωC) = ω_o² и введя обозначение - ε_oω/L = е_o уравнение (84) запишем в виде:

(85)

Решение уравнения (85) аналогично решению ранее рассмотренного уравнения (71). Ищем решение уравнения (84) для установившегося режима в виде:

I = I_o cos (w t - j ),

где I_о - амплитуда переменного тока в контуре, j - сдвиг фаз между э.д.с. источника тока и силой тока. По аналогии с определением формул (74) и (75) найдём выражения для I_о и j :

(86)

(87)

Соотношение (86) называется законом Ома для переменного тока. Величина

(88)

называется полным сопротивлением цепи.

R_L = ωL - индуктивное сопротивление;

R_C = 1/ (ωC) - ёмкостное сопротивление;

- реактивное сопротивление.Реактивное сопротивление не вызывает тепловых потерь в цепи переменного тока. Оно создаёт сдвиг фаз между током и вынуждающей э.д.с.

R - активное сопротивление; за счёт него возникают тепловые потери в контуре.

Падение напряжения на отдельных участках цепи, представленной на рис. 15, можно получить, используя выражение (85):

U_C = q/ С = U_0C cos(ωt - φ - π/2);

U_L = L (dI/dt) = U_0L cos(ωt - φ+ π/2);

U_R = U_0R cos(ωt - φ).

По второму правилу Кирхгофа:

U_C + U_L + U_R = ε₀ cosωt

Из выражения (86) следует, что амплитуда тока зависит от частоты вынуждающей э.д.с. (рисунок 18). Максимального значения I₀ достигает при частоте ω_рез, равной:

(89)

( I₀ )_max = I_0рез = ε₀ / R (90)

φ_рез = 0

Явление достижения током максимального значения I_0рез при ω = ω_рез называется резонансом напряжений. Это вызвано тем, что при ω = ω_рез падения напряжений на индуктивном и ёмкостном сопротивлениях достигают максимальных значений равных по модулю и противоположных по фазе, поэтому суммарное падение напряжение на реактивном сопротивлении равно нулю. Падение напряжения на активном сопротивлении максимально, его амплитудное значение

( U_L )_рез = ( U_С )_рез (91)

U_R0 = ε₀ .

Векторная диаграмма для резонанса напряжений при­ведена на рис.17.

Подставив в формулу (91) значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим:

( U_L )_рез= ( U_С )_рез= I₀ = U₀ = Q U₀,(92)

где Q - добротность контура.

Так как доброт­ность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонан­са на конденсаторе, можно получить напряжение с амплитудой QU_m ( в данном случае Q - добротность контура, которая может быть значительно больше U_m. Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонанс­ной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции элект­рических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.