Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.
Предположим, что на колебательную систему все время действует вынуждающая сила, изменяющаяся со временем по гармоническому закону
F = F0 cosw t, (69)
где F0 - амплитуда силы. Очевидно, вынуждающая сила изменяется со временем с периодом T = 2p/w. Она совершает работу, знак которой зависит от разности фаз между силой и скоростью движения тела. Когда направления движения тела и вынуждающей силы совпадают, то она совершает положительную работу, ускоряя движение колеблющегося тела. Если же направления движения тела и вынуждающей силы противоположны, то она совершает отрицательную работу, тормозя движение колеблющегося тела. С течением времени это приводит к тому, что тело вынуждено совершать колебания с той же частотой, с какой изменяется вынуждающая сила.
В случае малых механических колебаний, когда сила сопротивления пропорциональна скорости в соответствии со вторым законом динамики, уравнение движения имеет вид
, (70)
где (- kx) - возвращающая сила; (-r ) - сила сопротивления; F0 cosw t -вынуждающая сила.
Учитывая, что w02 = k/m, d = r/(2m) и обозначив fo = F / m,уравнение (70) можно переписать в виде:
(71)
Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка описывает вынужденные колебания в механической системе, например, колебания маятника. Решение его, как доказывается в курсе высшей математики, состоит из суммы x1(t) - общего решения уравнения (52) и x2(t) - частного решения уравнения (71).
Решение уравнения (52) x1(t), как установлено ранее,записывается в виде
x1(t) = A0 e-d t cos(w t+j) (72)
где w = , характеризует свободные, затухающие по экспоненциальному закону колебания, начальная амплитуда и фаза которых зависят от начальных условий. Эти колебания через некоторое время, называемое временем установления вынужденных колебании, практически исчезают. В установившемся режиме решение уравнения (71) ищем в виде:
x = A cos(w t - j) (73)
где A - амплитуда вынужденных колебаний и j - сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой (в данном случае начальную фазу удобнее обозначать через - j). Их можно определить из условия, согласно которому подстановка выражения (73) в уравнение (71) должна приводить к тождеству. Тогда получим:
А = (74)
tgj = (75)
Подставив в (73) значения A и j, определяемые формулами (74) и (75), получим частное решение (установившийся режим) неоднородного уравнения (71):
X = cos(w t - arctg ) (76)
Функция (76) в сумме с функцией (72) дает общее решение уравнения (71), описывающего поведение системы при вынужденных колебаниях. Таким образом, функция (76) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и обратно пропорциональна массе системы. Кроме того, амплитуда установившихся вынужденных колебаний обратно пропорциональна коэффициенту затухания d и уменьшается с его увеличением.
Уравнение (71) и его решение (76) справедливо для вынужденных колебаний любой физической природы. Таким образом, общее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний осциллятора, характеризуемого обобщённым параметром S, имеет вид:
(77)
Если изменения какого-либо параметра системы описываются
дифференциальным уравнением (77), то в этот процесс представляет собой вынужденные колебания. Решение этого уравнения в установившемся режиме имеют вид аналогичный уравнениям (73) - (75).
Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 1978;