Момент инерции материальной точки и твердого тела

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния до рассматриваемой оси:

. (8.1)

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате ( ). Моментом инерции твердого тела называют сумму моментов инерции материальных точек массой , на которые можно разделить это тело, т. е.

.

Переходя к бесконечно малым массам dm, получаем

. (8.2)

На основании формулы (8.2) можно рассчитать момент инерции любого тела.

В качестве примера получим формулу момента инерции однородного сплошного цилиндра относительно его оси (рис. 8.1).

Разобьем цилиндр на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии r от оси. Объем такого слоя

, (8.3)

где h – высота цилиндра.

Поскольку цилиндр однороден, то масса dm выделенного слоя

, (8.4)

где r - плотность тела.

Подставляя выражение (8.4) в формулу (8.2), получаем

. (8.5)

Так как - объем цилиндра, а - его масса, формулу (8.5) приводим к виду

. (8.6)

Эта формула применима для цилиндра любой высоты, в том числе и для диска.

Аналогично можно рассчитать моменты инерции и других однородных тел:

- для полого тонкостенного цилиндра относительно оси симметрии , где R - радиус цилиндра;

- для прямого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину, , где l - длина стержня;

- для прямого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, , где l - длина стержня;

- для шара относительно оси симметрии , где R - радиус шара.

При нахождении момента инерции тел относительно оси, не проходящей через центр масс тела, вычисления по формуле (8.2) значительно усложняются. Однако в подобных случаях можно воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями:

. (8.7)

Момент инерции твердого тела является мерой его инертности при вращательном движении.