Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными механическими колебаниями. 1 страница

Решение уравнения (11.51) равно сумме общего решения однородного уравнения (11.47) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (11.51) на комплексную величину :

(11.52)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Найдем производные для : . Подставляя выражение для и его производных в уравнение (11.52), получим

(11.53)

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что . Тогда (11.53) имеет вид Найдем отсюда величину x₀ : Оно имеет вид

Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме: где

(11.54)

и (11.55)

Следовательно, решение уравнения (11.53) в комплексной форме примет вид:

Его вещественная часть равна

, (11.56)

где и задаются соответственно формулами (11.54) и (11.55).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (11.52) имеет вид

(11.57)

Решение уравнения (11.52) равно сумме общего решения однородного уравнения

(11.58)

и частного решения (11.57). Слагаемое (11.58) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (11.54). Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (11.54) и (11.55), также зависят от .

8. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты .

Из формулы (11.54) следует, что амплитуда А смещения имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту – частоту, при которой амплитуда А смещения достигает максимума, – нужно найти максимум функции (11.54), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по и приравняв нулю, получим условие, определяющее : .

Это равенство выполняется при и , у которых только лишь положительное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

(11.59)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте называется механическим резонансом.При значение практически совпадает с собственной частотой колебательной системы. Подставляя (11.59) в формулу (11.54), получим

(11.60)

На рис. 11.7 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях .

Рис.11.7

Из (11.59) и (11.60) вытекает, что чем меньше , тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если , то все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению , так называемому статическому отклонению.Если , то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Из формулы (11.60) вытекает, что при малом затухании ( ) резонансная амплитуда смещения , где Q – добротность колебательной системы, – статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше . На рис. 11.8 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости. Амплитуда скорости максимальна при и равна , т.е. чем больше коэффициент затухания, тем ниже максимум резонансной кривой.

Из выражения следует, что если затухание в системе отсутствует, то только в этом случае колебания и вынуждающая сила имеют одинаковые фазы.

Рис.11.8

Зависимость от при разных коэффициентах представлена на рис.11.9. Отсюда следует, что при изменении изменяется и сдвиг фаз . Из формулы (11.55) вытекает, что при , а при независимо от значения коэффициента затухания , т.е. сила опережает по фазе колебания на р/2. При дальнейшем увеличении щ сдвиг фаз возрастает и при , т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы. Семейство кривых, изображенных на рис. 11.9, называется фазовыми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника, используют явление резонанса.

Рис.11.9

9. Автоколебания

Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебания– незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей. Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т.д.

10. Распространение колебаний в однородной упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью х. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. фактически только в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

На рис. 11.10 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т.д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное (1/4) vT, т.е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2. По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнет смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь vT, достигнет частицы 5.

На рис. 11.11 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью х.

Рис.11.11

На рис. 11.10 и 11.11 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными, а волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

Рис.11.12

На рис.11.12 изображена кривая, которая дает смещение xиз положения равновесия точек с различными x в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции x(х, t)для некоторого фиксированного момента времени 1. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

Расстояние л, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

λ =vT (11.61)

где v – скорость волны, T – период колебаний. Длину волны можно определить также, как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фазы, равной 2p (см. рис. 11.12).

Заменив в соотношении (11.61) T на 1/f (f – частота колебаний), получим

λf = v(11.62)

К этой же формуле можно прийти другим способом: за одну секунду источник волн совершает v колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать v-e колебание, первый «гребень» успеет пройти путь v. Следовательно, f «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине v.

11. Уравнение плоской и сферической бегущей волны.
Фазовая скорость. Волновое уравнение

Бегущими волнаминазываются волны, которыепереносят в пространстве энергию. Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат и времени t:

(11.63)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат х, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что x описывает колебания частицы с координатами х, у, z. Периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние л, колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции x в плоской волне, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными оси х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: x= x(х, t). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 11.13), имеют вид .

Рис.11 13

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 этой плоскости, волне требуется время t = x/х(х – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости х = 0, т.е. будут иметь вид .

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:

] (11.64)

Величина А представляет собой амплитуду волны.

Из (11.64) следует, что является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (11.64) есть уравнение бегущей волны.Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то .

В общем случае уравнение плоской волны,распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

, (11.65)

где A= const – амплитуда волны, – циклическая частота волны, – начальная фаза колебаний,определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, – фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число

(11.66)

Учитывая его, уравнению (11.65) можно придать вид

(11.67)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (11.67) только знаком члена kx.

Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т.е.

(11.68)

Продифференцировав последнее выражение и сократив на , получим , откуда

. (11.69)

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (11.65) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

При выводе формулы (11.67) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: , где – амплитуда в точках плоскости х = 0. Соответственно, уравнение плоской волны имеет следующий вид:

(11.70)

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна wt. Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазойw (t – r/х) = wt – kr (чтобы пройти путь r, волне требуется время ф = r/х). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной – она убывает с расстоянием от источника по закону 1/r. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

, (11.71)

где А – постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность А равна размерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (11.71) нужно добавить множительe^–гr.

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (11.71) справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.

Из выражения (11.66) вытекает, что фазовая скорость

(11.72)

Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн,а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением– дифференциальным уравнением в частных производных

, (11.73)

где v – фазовая скорость, – оператор Лапласа.

Решением уравнения (11.73) является уравнение любой волны, в частности, плоской (см. (11.65)) и сферической (см. (11.71)) волн. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид .

12. Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т.е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн:при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье, любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т.е. в виде волнового пакета или группы волн. Волновым пакетомназывается суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

«Сконструируем» простейший волновой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем . Тогда

В этой формуле есть амплитуда. Поэтому образовавшаяся волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно изменяющаяся функция координаты х и времени t.