Примеры решения задач. Пример 10.1.Тонкое кольцо (рис

Пример 10.1.Тонкое кольцо (рис. 10.14) в вакууме радиусом = 20 см равномерно заряжено с линейной плотностью = 50 нКл/м. Найдите напряженность поля и силу, действующую со стороны кольца на точечный заряд = 1 нКл, если он удален от центра кольца на расстояние = 20 см и лежит на оси кольца. На каком расстоянии от центра кольца напряженность поля максимальна?

Рис. 10.14

Решение. Возьмем элемент кольца . Этот элемент имеет заряд . Модуль напря­женности электрического поля, созданного этим элементом в точке A, равен

.

Для нахож­дения напряженности поля кольца надо сложить векторы от всех элементов кольца. Выберем два диаметрально противоположные элемента кольца и найдем векторную сумму . Рассчитаем косинус угла :

.

Сумма проекций векторов и на вертикальный орт равна нулю, а сумма проекций векторов и на горизонтальный орт равна

.

Интегрируя это соотношение по всей длине кольца, получим для модуля на оси кольца:

, (10.34)

где - заряд кольца.

Найдем расстояние , где напряженность максимальна при фиксированном радиусе кольца . Для этого вычислим производную функции (10.34) по и приравняем ее нулю:

, .

График функции показан на рис. 10.15.

Рис. 10.15

Проведем необходимые вычисления для :

5000 В/м, 5·10^–6 Н, 14,1 см.

Пример 10.2.В воздухе находится фарфоровый шар с диэлектрической проницаемостью 6 и радиусом = 10 см. Он заряжен равномерно с объемной плотностью = 15 нКл/м³ . Определите напряженность электростатического поля и потенциал на расстоянии 5 см и 15 см от центра шара, и постройте их графики в диапазоне = 0÷20 см.

Решение.1. Рассмотрим сначала решение, когда < . В качестве гауссовой поверхности возьмем сферу произвольного радиуса . Центр сферы совпадает с центром шара. По теоремеОстроградского-Гаусса (10.10) получим

, . (10.35)

Поскольку задача обладает центральной симметрией, то, используя (10.30), рассчитаем потенциал

, (10.36)

где - постоянная интегрирования.

2. Пусть теперь . Полный заряд шара и напряженность равны

, . (10.37)

Используя (10.31), (10.37), вычислим потенциал

. (10.38)

Потенциал является непрерывной функцией . Приравняв на границе (10.36) и (10.38), найдем постоянную интегрирования :

, . (10.39)

Таким образом, когда < , потенциал электростатического поля

. (10.40)

На рис. 10.16 приведены графики и , построенные по формулам (1.35) – (1.40).

Проведем необходимые вычисления: 4,7 В/м, 6 В. Теперь для 15 см: 62,8·10^–3 нКл, 25,1 В/м, 3,8 В.

Рис. 10.16

Контрольные вопросы

1. Дайте определение электрического заряда. Перечислите и разъясните основные свойства заряда.

2. Какие поля называют электростатическими?

3. Сформулируйте закон Кулона.

4. Что такое напряжённость электростатического поля? Как определяется направление вектора напряжённости?

5. Сформулируйте принцип суперпозиции для электростатического поля.

6. Что такое поток вектора напряженности?

7. Какие линии называются силовыми? Почему они не могут пересекаться?

8. Что такое потенциал? Каков его физический смысл?

9. Какова связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом?

10. Какие линии называются эквипотенциальными?

11. Докажите, что эквипотенциальные и силовые линии ортогональны.

12. От чего зависит густота силовых и эквипотенциальных линий?

13. В чем заключается физический смысл теоремы Остроградского-Гаусса?

14. Что такое электрический диполь? Рассчитайте поле на оси диполя.

15. Рассчитайте, используя теорему Остроградского-Гаусса, поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

16. Рассчитайте, используя теорему Остроградского-Гаусса, поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей.

17. Рассчитайте, используя теорему Остроградского-Гаусса, поле равномерно заряженной сферической поверхности.

18. Рассчитайте, используя теорему Остроградского-Гаусса, поле равномерно заряженного шара с объемной плотностью .

19. Рассчитайте, используя теорему Остроградского-Гаусса, поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).

Тема 11. Диэлектрики и проводники
в электростатическом поле.
Электрическая емкость, конденсаторы

Электростатическое поле в веществе. Типы диэлектриков Поляризация диэлектрика. Вектор поляризации. Вектор электрического смещения. Диэлектрическая проницаемость вещества. Условия на границе раздела двух диэлектрических сред.

Проводники в электростатическом поле. Электроемкость уединенного проводника. Конденсаторы. Энергия заряженного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии.