Теорема Остроградского-Гаусса

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка , в пределах которой напряженность , т. е. электростатическое поле однородно. Произведение модуля вектора на площадь и на косинус угла между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку (рис. 10.7):

, (10.8)

где - проекция поля нанаправление нормали .

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность . В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль к поверхности, т. е. нормаль, направленная наружу области.

Если разбить эту поверхность на малые площадки, определить элементарные потоки поля через эти площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток вектора напряженности через замкнутую поверхность (рис. 10.8):

. (10.9)

Рис. 10.7

Рис. 10.8

ТеоремаОстроградского-Гаусса утверждает: поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность прямо пропорционален алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных внутри этой поверхности:

, (10.10)

где - алгебраическая сумма свободных зарядов, находящихся внутри поверхности , - объемная плотность свободных зарядов, занимающих объем .

Если ввести вектор электрического смещения

, (10.11)

то теорему Остроградского-Гаусса можно выразить через поток вектора через замкнутую поверхность :

. (10.12)

Из теоремы Остроградского-Гаусса (10.10), (10.12) следует, что поток не зависит от формы замкнутой поверхности (сфера, цилиндр, куб и т.п.), а определяется только суммарным зарядом внутри этой поверхности.

Используя теорему Остроградского-Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией.

Рассмотрим задачу о вычисленииполя тонкостенного пологооднородно заряженного длинного цилиндра радиуса (тонкой бесконечной заряженной нити). Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра произвольного радиуса и длины , закрытого с обоих торцов (рис. 10.9).

Для поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна , так как поток через оба основания равен нулю. Используя теорему Остроградского-Гаусса в форме (10.10), получим:

, (10.13)

где - заряд на единицу длины цилиндра (линейная плотность заряда).

Отсюда напряженность поля

. (10.14)

Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю тонкой бесконечной однородно заряженной нити.

Рис. 10.9

Для расчета напряженности поля внутри заряженного цилиндра выберем замкнутый цилиндр с < . Поскольку внутри этого цилиндра заряд отсутствует, то в соответствии с (10.13), поток и поле равны нулю.

Аналогичным образом можно применять теорему Остроградского-Гаусса для расчета электрического поля и в других задачах, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев выбирают форму замкнутой гауссовой поверхности, исходя из симметрии задачи. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность выбирают в виде цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере).

Рассмотрим еще один примерсимметричного распределения зарядов– расчет поля равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда (заряд, приходящийся на единицу площади) (рис. 10.10).

Рис. 10.10

В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости везде направлено по нормали к плоскости. Применение теоремы Гаусса дает:

, . (10.15)

Используя теорему Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции, можно рассчитать напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями (поле внутри плоского конденсатора)

, (10.16)

и напряженность поля равномерно заряженной сферы радиуса на расстоянии ≥ :

(10.17)