Уравнения Лапласа для потенциала скорости

Естественно, что при решении задач гидромеханики возникает необходимость найти функцию потенциала скорости φ(x¸y¸z), если это принципиально возможно. Для этого необходимо иметь уравнение, решив которое, возможно найти потенциал скорости. Для получения этого уравнения вспомним, что согласно уравнению неразрывности в каждой точке потока несжимаемой жидкости выполняется

(9.8)

Подставляя в (9.8) выражения для U_x, U_y, U_z из (9.7), получим (в декартовых координатах)

(9.9)

Это уравнение называется уравнением Лапласа. Таким образом, функция φ(x¸y¸z) удовлетворяет уравнению Лапласа. В случае двумерного (в плоскости XOY) течения несжимаемой жидкости уравнение (9.9) принимает вид

(9.10)

Уравнение (9.9) представляет собой линейное однородное уравнение в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами; этому уравнению должен удовлетворять потенциал скорости любого потенциального течения. Чтобы найти потенциал φ(x¸y¸z) для конкретного потока, необходимо задать границы течения и условия на них. Одним из физически очевидных условий на границе тела (или на границе потока) является непроницаемость этих границ для жидкости, т.е. нормальная составляющая скорости на границе равна нулю. Составляющая скорости по нормали равна

а само условие на границе имеет вид

Именно видом границы и определяется функция φ(x¸y¸z). Решив уравнение Лапласа с заданными граничными условиями и определив функцию φ(x¸y¸z), проекции скорости U_x, U_y, U_z находят простым дифференцированием.

При решении задач, связанных с потенциальными течениями, может быть применён следующий алгоритм:

1. Задаётся граница (на плоскости – кривые или ломаные линии) области течения.

2. Определяются условия на границе для функции потенциала скорости φ(x¸y¸z).

3. Находится решение уравнения Лапласа для потенциала скорости φ(x¸y¸z), удовлетворяющее всем условиям на заданной границе.

4. Определяются проекции скорости U_x, U_y, U_z по формулам (9.7).

В дальнейшем, зная U_x, U_y,U_z , возможно определить величину и направление вектора скорости в любой точке потока.

Задача 9.3.Можно ли рассматривать функцию в качестве потенциала скорости некоторого плоского течения несжимаемой жидкости (a-постоянная, имеющая размерность )?

Задача 9.4. Вектор скорости плоского потока задан в общем виде так

где a – постоянная, имеющая размерность . Возможно ли такое течение? Является ли оно потенциальным? Если ответы положительны, найти потенциал скорости φ(x¸y).

Решение. Если составляющие скорости заданного течения

удовлетворяют уравнению неразрывности, которое должно выполняться в каждой точке, то существование такого течения принципиально возможно. Уравнение неразрывности для плоского течения имеет вид

В данном случае частные производные равны

и уравнение неразрывности принимает вид , т.е. ответ на первый вопрос положительный и течение с заданным вектором скорости существует. Для проверки, является ли течение потенциальным, необходимо найти величины ω_x, ω_y, ω_z , вычислив определитель (9.3). Подставляя в (9.5) составляющие скорости из условия задачи, получим

т.е. заданное течение потенциальное и имеет смысл искать функцию потенциала скорости φ(x¸y). По определению из (9.7)

Из этих равенств потенциал φ(x¸y) определяется интегрированием

где A(y), B(x) – произвольные функции; С₁, С₂ – произвольные постоянные.

Подставляя значения φ(x¸y) в уравнение Лапласа (9.10), окончательно имеем

(A(y)=B(x)=0).

Пример 9.1. Рассмотрим простейший пример потенциального потока - плоский поток жидкости течёт равномерно и прямолинейно вдоль оси X со скоростью U₀, рис. 9.1.

Очевидно, что проекции скорости следующие

В данном случае движение потенциальное, так как Уравнение Лапласа удовлетворяется. Из выражений для проекций скорости следует, что потенциал φ(x¸y) зависит только от x, поэтому .

Линии равного потенциала (эквипотенциальные линии) можно найти из выражения или .Эти линии показаны отрезками , , на рис. 9.2.

Рис. 9.1 Рис. 9.2