Понятие стационарного случайного процесса. Стационарность в узком и широком смыслах

Стационарным (однородным во времени) называют случайный процесс, статистические характеристики которого не меняются с течением времени, то есть являются инвариантными относительно временных сдвигов.

Различают случайные процессы стационарные в широком и узком смысле.

Стационарным случайным процессом в узком смысле называется случайный процесс Х(t), все вероятностные характеристики которого не меняются со временем, то есть таких, что выполняется условие

F(t₁; t₂;… ;t_n; x₁; x₂;…; x_n)=F(t₁+τ; t₂+τ;… ;t_n+τ; x₁; x₂;…; x_n), и, следовательно, все n-мерные распределения зависят не от моментов времени t₁; t₂;… ;t_n, а от длительности временных промежутков τ_i:

В частности, одномерная плотность распределения вообще не зависит от времени t:

двумерная плотность сечений в моменты времени t₁ и t₂

n-мерная плотность сечений в моменты времени t₁; t₂...; t_n:

Случайный процесс Х(t) называется стационарным в широком смысле, если его моменты первого и второго порядка инвариантны относительно временного сдвига, то есть его математическое ожидание не зависит от времени t и является константой, а корреляционная функция зависит только от длины временного промежутка между сечениями:

Очевидно, что стационарный случайный процесс в узком смысле является стационарным случайным процессом и в широком смысле; обратное утверждение не верно.