Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов

 

Рассматривается следующая задача: на вход системы (устройства, преобразователя) S подается «входной сигнал», имеющий характер случайного процесса Х(t). Система преобразовывает его в «выходной сигнал» Y(t):

.

Формально преобразование случайного процесса Х(t) в Y(t) может быть описано с помощью так называемого оператора системы Аt:

Y(t)=At(Х(t)).

Индекс t показывает, что данный оператор осуществляет преобразование по времени. Возможны следующие постановки задачи о преобразовании случайного процесса.

1. Известны законы распределения или общие характеристики случайного процесса Х(t) на входе в систему S, задан оператор Аt системы S, требуется определить закон распределения или общие характеристики случайного процесса Y(t) на выходе системы S.

2. Известны законы распределения (общие характеристики) случайного процесса Х(t) и требования к случайному процессу Y(t); надо определить вид оператора Аt системы S, наилучшим образом удовлетворяющего заданным требованиям к Y(t).

3. Известны законы распределения (общие характеристики) случайного процесса Y(t) и задан оператор Аt системы S; требуется определить законы распределения или общие характеристики случайного процесса Х(t).

Принята следующая классификация операторов Аt системы S:

 

Операторы системы

 

 

Линейные L Нелинейные N

 

 

Линейные однородные L0 Линейные неоднородные Lн

 

 

1. Рассмотрим воздействие линейной неоднородной системы

Lн(...)=L0(…)+φ(t)

на случайный процесс Х(t), имеющий следующее каноническое разложение:

.

Получаем:

введем обозначения

тогда каноническое разложение Y(t) приобретает вид:

.

Математическое ожидание случайного процессаY(t):

корреляционная функция случайного процесса Y(t):

следовательно,

.

С другой стороны

Дисперсия случайного процесса Y(t):

В заключении этого пункта отметим, что операторы дифференцирования и интегрирования случайных процессов являются линейными однородными.

2. Рассматривается квадратичное преобразование:

Y(t)=(X(t))2,

Vk-центрированные случайные величины, имеющие симметричное относительно нуля распределение; любые четыре из них независимы в совокупности. Тогда

Введем неслучайные функции

и случайные величины

тогда случайный процесс Y(t) приобретает вид

Получено каноническое разложение случайного процесса Y(t). Корреляционная функция Y(t):

 

Дисперсия:

 









Дата добавления: 2015-07-30; просмотров: 2511;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.