Прямая задача кинематики манипуляторов

7.3.1 Постановка задачи и параметрическое описание
кинематики манипулятора

В принятых нами специальных системах координат ось z_i всегда направлена: во вращательной кинематической паре по оси вращения; в поступательной кинематической паре параллельно направляющей кинематической пары.

Напомним, что положение i-го звена относительно (i-1)-го определяется обобщенной координатой q_i.

Если два звена соединены вращательной парой, то при вращении i-го звена относительно (i-1)-го из четырех параметров q_i, S_i, а_i и a_i, переменным (обобщенной координатой q_i) будет параметр q_i, т.е. во вращательной кинематической паре (рис. 193, а): q_i = q_i; S_i = const; a_i = const; a_i = const.

Если два звена соединены поступательной парой, то при перемещении i-го звена относительно (i-1)-го из четырех параметров q_i, S_i, а_i и a_i переменным (обобщенной координатой q_i) будет параметр S_i, т.е. в поступательной паре (рис. 193, б): ;
q_i = const; a_i = const; a_i = const.

Таким образом, из четырех параметров, ориентирующих i-ю систему координат, а следовательно, и i-е звено относительно (i-1)-го при движении i-го звена относительно (i-1)-го переменным будет один параметр q_i или S_i, а три остальных – постоянными.

Для описания кинематики манипулятора целесообразно использовать специальную таблицу кинематических пар, в которой для конкретного манипулятора проставляются определенные значения параметров q_i, S_i, а_i и a_i, а переменые параметры, являющиеся обобщенными координатами, отражаются буквой q_i.

Таблица 3

Параметры кинематических пар

Примечание: a*₂ и a*₃ – некоторые фиксированные значения параметров a₂ и a₃ .

Рассмотрим порядок назначения систем координат звеньев манипулятора и определения параметров кинематических пар на примере манипулятора ВПВ (рис. 194).

Система координат O₀X₀Y₀Z₀ выбрана произвольно при обеспечении направления оси z_o по оси кинематической пары А_о.

В системе координат O₁X₁Y₁Z₁ ось z₁ направлена по направляющей кинематической пары А₁ и совмещена с осью z_o. Начало координат О₁ может быть выбрано в любой точке оси z₁. В нашем случае она совмещена с О_о, поэтому S₁=0; a_i = 0; оси z_o и z₁ совпадают, значит a₁= 0. Так как звено 1 вращается относительно звена 0, переменным является угол q₁, следовательно, q₁ = q₁.

Система координат O₂X₂Y₂Z₂ выбрана по ранее изложенному правилу. Так как пара А₁ поступательная (звено 2 перемещается относительно звена 1), то расстояние S₂ будет переменным (обобщенной координатой) S₂ = q₂. Величины q₂, а₂ и a₂, найдены по общему правилу: q₂ = p ; a₂ = 0,5p ; a₃ = a*₃ . Понятно, что их значения постоянны.

Система координат O₃X₃Y₃Z₃ выбрана по правилу для n-го (последнего) звена; начало О₃ координат назначено в центре схвата, ось x₃ направлена перпендикулярно оси z₂. Так как пара А₂ вращательная, то переменным параметром будет q₃ = q₃ . Параметры S₃, а₃ и a₃ определяются по общему правилу: S₃ = 0; a₃ = a*₃ ; a₃ = -1,5π и являются постоянными.

Найденные таким образом параметры манипулятора ВПВ сведены в таблицу кинематических пар (табл. 3).

Итак, нами полностью подготовлены основания для формулирования и решения прямой задачи кинематики манипуляторов.

Прямая задача кинематики манипуляторов заключается в определении положения его звеньев в неподвижной (инерциальной) системе координат по известным значениям обобщенных координат и при известных значениях параметров кинематических пар: q_i, S_i, а_i, a_i.

Частным видом прямой задачи кинематики манипулятора является определение положения его схвата, закрепленного на последнем n-м звене манипулятора. Решим эту важную задачу.

Положение схвата в неподвижной системе координат будет определено полностью, если будут известны координаты его центра и ориентация последнего n-го звена в неподвижной системе координат. В нашем случае, когда n-я система координат помещена в центр схвата, для определения положения и ориентации схвата достаточно определить координаты начала n-й системы координат и ее ориентацию в системе координат, связанной с 0-м звеном.

Запишем формулу (2) последовательно для n звеньев в порядке от звена n к звену 0.

R_{n-1, n} = Т_{n-1, n} R_{n, n} ;

R_{n-2, n} = Т_{n-2, n-1} R_{n-1, n} ;

. . . . . . . . . . . . . . . .

R_{1, n} = Т_1,2 R_{2, n} ;

R_{0, n} = Т_0,1 R_{1, n} .

Подставив в последнее равенство последовательно все предыдущие, получим

R_0,n= Т_0,1 Т_1,2 . . . . Т_{n-1, n} R_{n, n} (6)

или в более общем виде

R_0,n= Т_0,n R_nn ,

где Т_0,n = Т_0,1 Т_1,2 . . . . Т_{n-2, n-1} Т_{n-1, n} . (7)

Последнее выражение (7) можно представить в матричной форме

а₁₁⁰ⁿ а₁₂⁰ⁿ а₁₃⁰ⁿ а₁₄⁰ⁿ

а₂₁⁰ⁿ а₂₂⁰ⁿ а₂₃⁰ⁿ а₂₄⁰ⁿ

Т _0,n = а₃₁⁰ⁿ а₃₂⁰ⁿ а₃₃⁰ⁿ а₃₄⁰ⁿ .

0 0 0 1

Обратим внимание на следующее обстоятельство: начало координат n-го звена совпадает с центром схвата, следовательно:

x_nn= y_nn= z_nn= 0 и R_n,n = . Тогда R_0n = .

Значит, первые три элемента 4-го столбца матрицы Т_0,n, а именно, элементы представляют собой координаты центра схвата, т. е.

x_0,n= ; y_0,n= ; z_0,n= .

Это объясняется тем, что названные элементы являются координатами, отражающими смещение (перенос) начала n-й системы в
0-й системе координат.

Матрица Т_0,n по структуре аналогична матрице Т_{i-1, i} (см. зависимость (5)). Следовательно, 1-й элемент 2-го столбца и первые два элемента 3-го столбца будут являться направляющими косинусами осей z_n и y_n относительно осей x₀ и y₀, а именно:

.

Это позволяет определить углы между соответствующими осями:

.

Именно эти углы применительно к звеньям i-1 и i показаны на рис. 190.

Заметим еще раз, что положение схвата в пространстве (его координаты и ориентация) определяется шестью наддиагональными элементами матрицы Т_o,n. Таким образом, шесть наддиагональных элементов матрицы Т_o,n дают полную информацию о положении схвата в пространстве.

Следовательно, отпадает необходимость в расчете по формуле (6), а достаточно использовать выражение (7) в виде:

(8)

Для определения положения любого промежуточного i-го звена манипулятора относительно стойки достаточно перемножить соответствующее число первых слева матриц перехода, т.е. воспользоваться выражением, которое приводится ниже

Наддиагональные элементы этой матрицы и дадут искомое решение.

Можно также определить положение любого m-го звена относительно k-го (k< m) по формуле:

Заметим, что в силу закона ассоциативности исходные матрицы-сомножители, записанные в порядке возрастания номеров звеньев и пар манипулятора, можно перемножать как справа налево, так и слева направо.

Перемножение справа налево, видимо, более наглядно, т.к. последовательно координаты схвата пересчитываются в предыдущие системы координат. Так удобно умножать, когда определяется положение только схвата.

Перемножение слева направо позволяет попутно определить положения всех промежуточных звеньев. Для этого достаточно лишь обеспечить в ходе вычислительного процесса запоминание наддиагональных элементов матриц, получаемых как промежуточные при расчете.