Решение прямой задачи при позиционном управлении

Позиционное управление обеспечивает движение схвата от одной фиксированной точки к другой с остановкой в каждой точке. Поэтому с теоретической точки зрения достаточно рассмотреть движение между двумя соседними точками, одну из которых, где схват находится в данный момент времени, назовем начальной, а другую, куда схват должен переместиться, – конечной.

Будем считать, что для решения прямой задачи при позиционном управлении известны значения обобщенных координат, соответствующие начальному и конечному положениям схвата, т.е. известны значения q_i^н и q_i^к , i = 1...n.

Прямая задача кинематики в этом случае разделяется на две подзадачи:

1-я подзадача: Планирование траекторий в пространстве обобщенных координат. Решение этой подзадачи дает возможность определить положения каждого звена манипулятора относительно предшествующего ему звена в каждый момент времени, т.е. определить обобщенные координаты в функции времени:

q_i = q_i (t) (i = 1, . . . , n).

2-я подзадача: Определение траектории движения схвата и его ориентации (а при необходимости и всех других характерных точек и звеньев манипулятора) при его движении от начальной точки к конечной.

Вторая подзадача решается с использованием зависимости (9) с учетом того, что в каждой матрице Т_{i-1, i} (см. формулу (5)) элементы являются функциями одной обобщенной координаты q_i:

q_i (t) = q_i (t), если кинематическая пара вращательная;

S_i (t), если кинематическая пара поступательная.

Перепишем выражение (8) в виде

Т_0,n (t) = Т_0,1 [q₁ (t)] ∙ Т_1,2 [q₂ (t)] ∙ Т_2,3 [q₃ (t)] . . . Т_{n-1, n}[q_n (t)] ,

из которого определим значения шести наддиагональных элементов

- а₁₂(t) а₁₃(t) а₁₄(t)

- - а₂₃(t) а₂₄(t)

- - - а₃₄(t) = Т_0,1[q₁ (t)] . . . Т_{n-1, n}[q_n(t)] . (9)

0 0 0 1

Понятно, что каждый элемент этой матрицы – есть функция обобщенных координат манипулятора, т.е. а_j,l = а_j,l(q₁, . . . , q_n; t) (j = 1, 2, 3; l = 2, 3, 4).

Таким образом, решение 2-й подзадачи есть решение основной прямой задачи манипулятора, и она решается по изложенному ранее алгоритму, если известны зависимости

q_i = q_i (t) ; 0£ t £ Т ,

определяемые при решении первой подзадачи (здесь Т – заданное время движения схвата от начальной точки к конечной).

Решение 1-й подзадачи начинается с выбора общего вида закона движения звеньев по обобщенной координате.

Наибольшее распространение получили два закона движения.

1. Прямоугольный закон изменения ускорений при движении по обобщенной координате. Для прямоугольного закона характерно минимально возможные при данной длительности интервалов разгона и торможения значения ускорений, а следовательно, и сил инерции при движении одного звена относительно другого. Однако в начале и конце интервалов разгона и торможения возникают, так называемые “мягкие” удары, связанные с мгновенным изменением ускорений в указанные моменты.

Примечание: “жесткие” удары появляются при мгновенном изменении скорости, т.е. при ускорении, равном бесконечности.

2. Синусоидальный закон изменения ускорения при движении по обобщенной координате, обеспечивающий плавную (безударную) работу привода i-го звена.

Рассмотрим названные законы движения подробнее.

При движении i-го звена относительно (i-1)-го по прямоугольному закону (рис. 195) i-е звено на интервале t_pi разгоняется под действием постоянного усилия, которое обеспечивает постоянное ускорение . При достижении максимальной постоянной скорости ускорение принимает значение, равное 0, а усиление привода тратиться на преодоление сил трения и нагрузки.

На интервале торможения t_pi работают устройства торможения, которые развивают постоянное силовое воздействие для обеспечения отрицательного ускорения . Длительности интервалов разгона t_pi, движения с постоянной скоростью t_пi и торможения t_тi связаны зависимостью

t_pi + t_пi + t_тi = Т,

где Т – заданное время движения от начальной точки позиционирования схвата к конечной.

Поэтому произвольно можно назначать лишь длительности двух интервалов, например t_pi и t_тi. Для обеспечения наибольшего быстродействия робота следует принять t_pi = t_тi = 0,5Т. В этом случае в первую половину интервала движение i-го звена будет равноускоренным, а во вторую – равнозамедленным.

Так как в конце интервала разгона и в начале интервала торможения скорость i-го звена одинакова, то

значит (10)

При выбранных длительностях интервалов разгона и торможения необходимо найти такую величину ускорения , при которой бы звено за заданное время Т переместилось из начальной точки в конечную.

По графику перемещения i-го звена можно записать уравнение связи:

Откуда с учетом зависимости (10) получим

После определения обобщенных ускорений и по известным зависимостям можно определить обобщенные скорости и обобщенные координаты q_i i-го звена в любой момент времени:

– на участке разгона: (0 £ t £ t_рi)

.

– на участке движения с постоянной скоростью: (t_рi < t £ t_рi+ t_пi); .

– на участке торможения: (t_pi + t_пi < t £ Т),

;

.

Итак, получены зависимости q_i = q_i (t) и при 0 £ t £ Т, подставляя которые в (9) можно определить положение схвата в любой момент времени и в целом получить траекторию движения.

Рассмотренный закон движения представляет собой простейший пример использования сплайн-функций для описания относительного движения звеньев по обобщенным координатам.

Рассмотрим полученную функцию именно как сплайн-функцию, т.е. как кусочно-непрерывную функцию, составленную из нескольких отрезков некоторых непрерывных функций.

График требуемой функции перемещения q_i и графики ее производных и должны пройти через восемь фиксированных точек (рис. 195), которые можно использовать в качестве граничных условий при проектировании закона движения. Сформулируем граничные условия:

t = 0; 1) q^р_i(0) = q^н_i; 2) ;

t = t_pi; 3) q^р_i(t_p) = q^п_i(t_п) ; 4) ;

t = t_рi + t_пi; 5) q^п_i(t_р+ t_п) = q^T_i(t_рi+ t_пi); 6) ;

t = T; 7) q^T_i(T) = q^к_i; 8) .

Для удовлетворения этих граничных условий надо в аналитическом выражении q_i(t) иметь восемь свободных коэффициентов, что будет выполнено, если принять:

.

Продифференцируем необходимое число раз приведенные полиномы и получим еще четыре уравнения:

(t) = 2а₂t+ а₁;

(t) = 2а₂;

(t) = b₁;

(t) = 2с₂t+ с₁.

Значения коэффициентов a₀, a₁, a₂, b₀, b₁, c₀, c₁ и c₂ определяются по граничным условиям из решения системы приведенных выше уравнений.

Подставляя полученные значения этих коэффициентов в исходные полиномы и их производные, найдем все необходимые зависимости для расчета обобщенных координат, скоростей и ускорений, аналогичные ранее полученным из других предпосылок.

Заметим, что по различным степеням подвижности значения интервалов разгона, движения с постоянной скоростью и торможения в общем случае могут быть различны.

Для обеспечения плавной безударной работы привода используют законы движения, в которых ускорение плавно изменяется от нуля в начале интервала разгона до некоторой максимальной величины, а затем плавно убывает от нуля. Одним из наиболее распространенных законов такого типа является синусоидальный закон. Для установления зависимостей между длительностями интервалов движения, величинами обобщенных ускорений, скоростей и перемещений здесь удобно использовать диаграмму обобщенных скоростей :

.

Дифференцируя это выражение, получим функции для обобщенных ускорений . Интегрируя же эту зависимость от 0 до Т и приравнивая результат к полному перемещению за время T по обобщенной координате q_i, равному q^к_i – q^н_i , находится постоянная интегрирования , а после этого и зависимость q(t).

Полученные законы движения являются по сути сплайн-функциями, т.е. функциями, составленными из отрезков нескольких простейших функций, имеющих касание друг с другом того или иного порядка.

Планирование траекторий манипуляторов

Вопрос планирования траекторий рассмотрим на примере робототехнических комплексов (РТК). Компоновка РТК и состав его оборудования являются наиболее существенными факторами, влияющими на траекторию схвата. Важным фактором при планировании траектории являются также функции, выполняемые роботом в РТК.

Различают несколько типов производственных ситуаций.

1. Промышленный робот только загружает или только разгружает оборудование, или робот обслуживает РТК с объединенным входом и выходом. В этом случае траектории схвата в прямом и обратном направлениях совпадают.

2. Робот обслуживает РТК, в котором входной и выходной накопители (или позиции захвата заготовки и разгрузки детали) расположены на небольшом расстоянии друг от друга.

В такой производственной ситуации траектории прямого и обратного перемещения схвата близки друг к другу и могут быть приняты одинаковыми на значительном протяжении с различием в непосредственной близости от соответствующего оборудования.

3. Робот обслуживает РТК, в котором по условиям общей компоновки ГПС и планирования транспортных путей в цехе входные и выходные позиции разнесены на достаточно большие расстояния. Обычно такая производственная ситуация возникает при обслуживании роботом нескольких единиц технологического оборудования
(от 2 до 6), расположенных в последовательности технологического процесса. Многостаночное обслуживание роботом используется при значительной продолжительности технологических операций, например, при механообработке на токарных или фрезерных станках. Это наиболее типичный случай, включающий в себя как частные два предыдущих.

Именно в таких производственных сценах вопрос планирования траекторий является наиболее содержательным. В дальнейшем будем рассматривать 3-й тип производственной сцены, к которому могут быть сведены многие другие, за исключением случаев, когда траектория и ориентация схвата строго заданы на всем протяжении.

Заметим, что оборудование с целью сокращения времени и затрат на транспортирование деталей роботом должно устанавливаться на минимально возможном расстоянии друг от друга с расположением мест обслуживания по возможности на одном уровне и на одной прямой или на одной дуге окружности.

Планирование траекторий движения схвата начинается с анализа местных траекторий манипулятора, т.е. траекторий перемещения схвата вблизи рабочей зоны определенного оборудования или пары соседнего оборудования.

На местных траекториях манипулирования выделяют следующие характерные участки:

· установка и съем изделия с оборудования;

· сопряжение схвата с изделием и съем схвата с изделия;

· вход и выход схвата из рабочей зоны технологического оборудования (ТО);

· перемещение от одного оборудования к другому: подход, уход, движение мимо оборудования;

· перемещения, необходимые для смены схвата.

Некоторые участки в реальном РТК могут отсутствовать. При рассмотрении производственных сцен РТК используют системы координат, связанные с технологическим оборудованием и с промышленным роботом. Оси координат, связанные с ТО назначаются следующим образом. Ось Z_то направляется вверх, ось X_то по направлению к лицевой стороне ТО, тогда ось Y_то ориентируется по направлению от j-го оборудования к (j+1)-му (слева направо), т.е. в направлении, соответствующим ходу технологического процесса. Инерциальная система координат робота, связывается с неподвижным звеном робота и ориентируется по ранее изложенным правилам.

Рекомендуется четыре варианта расположения робота в системе координат ТО, при которых углы между осями О_тоХ_то и О₀Х₀ составляют 0^о, 90^о, 180^о и 270^о. Это наиболее естественное расположение, обеспечивающее, кроме того, и определенную простоту пересчета координат. Однако при необходимости эти системы координат могут располагаться произвольно по отношению друг к другу.

При установке и съеме изделия с оборудования для большинства типов технологического оборудования характерны три вида ориентации траектории схвата:

· по оси Х_то: печи, окрасочные камеры, прессы горячей штамповки и т.д.

· по оси Y_то : токарные станки;

· по оси Z_то : вертикально фрезерные станки, плоскошлифовальные, зубофрезерные станки, операции укладки изделий в тару, магазины, загрузочные устройства.

Ориентация траекторий съема-установки схвата с/на изделия могут быть и более разнообразными: в зоне положительных и отрицательных значений осей Х_то и Y_то, но всегда в положительной части оси Z_то.

По характеру движения относительно изделия схваты делят на два вида.

Боковые: схват снимается с изделия или одевается на него перпендикулярно направлению съема изделия с оборудования. Такие схваты используются чаще, т.к. позволяют совместить движение съема схвата с изделия с движением его выхода из рабочей зоны;

Торцевые: схват снимается с изделия в том же направлении, что и само изделие с оборудования. Такие схваты применяют, когда захват деталей за боковые поверхности невозможен из-за их малых размеров, неудобной формы или препятствия со стороны ТО, а также при захвате за внутренние поверхности.

Траектория выхода схвата из рабочей зоны может быть ориентирована по любой из трех осей:

– выход по оси Х_то является наиболее естественным, т.к. такое направление совпадает с направлением движения, выполняемым оператором при неавтоматизированном обслуживании. Однако при этом зона оператора оказывается занятой.

– выход по оси Y_то, а также в отрицательном направлении осей Х_то и Y_то осуществляется реже, т.к. конструкцией оборудования, как правило, не предусмотрено его обслуживание с этих сторон. К преимуществам выхода по оси Y_то и в отрицательном направлении оси Х_то относится свободный подход оператора к рабочей зоне оборудования для его настройки, а также для загрузки-разгрузки вручную при отказе робота.

– выход по оси Z_то применяется при подвесной установке робота на портале. При напольной установке ПР такой выход может оказаться целесообразным из-за возможности сокращения траекторий, поскольку в этом направлении размеры препятствий обычно невелики.

– выход в произвольном направлении, несовпадающим с координатными осями, используется при обслуживании ТО несколькими ПР, при применении двуруких роботов, роботов со сферической или сложной полярной системой координат, при малых размерах ПР по сравнению с обслуживаемым ТО.

Обычно в этом случае отклонение этих траекторий от естественных осей оборудования незначительно и на первых этапах проектирования такой выход или вход можно считать совпадающим с осями координат ТО.

Ориентация траекторий движения схвата от предыдущего оборудования к последующему, выстроенному по ходу технологического процесса, осуществляется в общем случае по всем направлениям: при напольной установке ПР чаще используются перемещения по четырем направлениям: в положительном и отрицательном направлениях осей Х_то и Y_то, т.е. уход и подход от одного ТО к другому обычно в таком случае осуществляется в горизонтальной плоскости.

При портальной конструкции ПР наиболее часто перемещение ухода-подхода выполняется в вертикальной плоскости в положительном и отрицательном направлениях оси Z_то.

Ориентация движения схвата между оборудованием однозначно определяет ориентацию переносных степеней подвижности ПР, которые выполняют это движение, а, следовательно, и ориентацию робота относительно технологического оборудования, т.е. ориентацию инерциальной системы координат робота относительно системы координат оборудования.

При проектировании РТК целесообразно рассматривать различные варианты местных траекторий и выбирать наиболее оптимальные по ряду критериев, например, по протяженности траектории, по величине перемещений по обобщенным координатам, по времени перемещения (по быстродействию), по числу степеней подвижности, участвующих в реализации данной траектории, по удобству обслуживания оборудования оператором и наладчиком и др.

Укажем некоторые особенности использования нескольких ПР в одном РТК. Два и более ПР используются в одном РТК в следующих случаях:

1. Один робот не успевает обслуживать оборудование за требуемое время, т.е. он не укладывается в заданный по времени такт выпуска деталей.

2. Один ПР не может обеспечить съем и транспортировку детали либо из-за ее значительной массы, либо из-за больших габаритов, например, длинный вал, крыло самолета, корпусные кольца турбин и т.д.

3. Величины ходов одного ПР недостаточны для обслуживания всего РТК, а модернизация ПР с целью увеличения его зоны обслуживания нецелесообразна.

Возможны различные стратегии обслуживания ТО несколькими работами:

· каждый из роботов может обслуживать по мере необходимости любое оборудование. Это наиболее гибкая стратегия, но ее реализация достаточно сложна и на конструктивно-компоновочном, и на программно-алгоритмическом уровнях.

· все оборудование в РТК разбивается на несколько групп так, что каждую из групп может обслуживать один робот. При такой организации РТК передача изделия между участками может осуществляться следующим образом:

1. Непосредственно из схвата одного ПР в схват другого;

2. Через технологическое оборудование: один робот транспортирует изделие на технологическое оборудование – другой от технологического оборудования;

3. На дополнительной позиции передачи.

Первый способ используется редко, т.к. требует достаточно точного взаимного позиционирования схватов роботов и кроме того при этом должен быть обеспечен захват за различные поверхности изделия, что не всегда возможно.

Второй способ используется чаще других. При этом загрузка ТО производится одним ПР, а разгрузка – другим с последующей загрузкой этим роботом следующего по технологическому процессу оборудования.

Третий способ используется при больших расстояниях между ТО, а также в случае, если изделие при передаче с одного ТО на другое должно изменить ориентацию (поворот, кантование, смена технологических баз и т.д.).

Время обработки изделия на различном ТО обычно различается друг от друга. Из-за этого могут возникать простои как ТО, так и ПР. При простоях ПР он должен находиться некоторое время в позиции ожидания конца обработки изделия.

При планировании траекторий нескольких ПР в пространстве и во времени следует максимально синхронизировать их работу, ориентируясь на более длительную технологическую операцию. В некоторых случаях это позволяет либо заметно сократить число ПР, либо организовать их синхронную работу по единой управляющей программе.

Возможна также механическая синхронизация, когда руки ПР монтируются как единое целое, либо жестко соединяются друг с другом.

При многостаночном обслуживании оборудования роботом наиболее часто в РТК в зависимости от числа схватов и организации производственной сцены возникают следующие ситуации.

1. Промышленный робот оснащен одним схватом.

2. ПР оснащен одним схватом; в составе РТК имеются позиции промежуточного хранения изделий.

3. ПР оснащен двумя схватами, закрепленными на одной руке.

В первом случае цикл начинается с разгрузки последнего по технологическому процессу оборудования с тем, чтобы обеспечить возможность разгрузки предшествующего ТО, т.е. обслуживание ТО идет в последовательности обратной последовательности технологического процесса.

Во втором случае при наличии позиции промежуточного хранения общая длина траектории существенно меньше за счет возможности смены заготовки и детали на промежуточной позиции. В этом случае заметно сокращается время простоя технологического оборудования и робота.

Третий случай, когда ПР оснащен двумя схватами, является оптимальным вариантом, т.к. длина траектории сведена здесь к минимуму. Смена заготовки на деталь в схвате и детали на заготовку в станке происходит непосредственно в рабочей зоне станка.