Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Уравнение n-го порядка решается последовательным интегрированием.

Умножая обе его части на и интегрируя, получаем уравнение –го порядка:

Снова умножая обе части на и интегрируя, получаем уравнение –го порядка: и т.д.

Пример 8.5.Решить дифференциальное уравнение

Решение.Проинтегрируем данное уравнение 4 раза:

Решить дифференциальные уравнения:

8.1. где - постоянная 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

8.11. 8.12.

8.13. 8.14.

8.15. 8.16.

8.17. 8.18.

8.19. 8.20.

8.21. 8.22.

8.23. 8.24.

8.25. 8.26.

8.27. 8.28.

8.29. 8.30.

8.31. 8.32.

8.33. 8.34.

8.35. 8.36.

8.37. при условии

8.38. 8.39.

8.40. при условии

8.41. 8.42.

8.43. если

8.44. если

8.45. если

Варианты контрольных заданий

1. Вычислить предел функции:

Вариант	Предел	Вариант	Предел

2. Исследовать функцию и построить её график:

Вариант	Функция	Вариант	Функция

3. Найти неопределенный интеграл:

Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вариант	Уравнения линий	Вариант	Уравнения линий

5. Исследовать сходимость ряда:

Вариант	Ряд	Вариант	Ряд

6. Решить дифференциальное уравнение первого порядка:

Вариант	Уравнение	Вариант	Уравнение

Ответы

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 0. 1.12. 1.13. 1. 14. - 1.15. -2. 1.16. 2. 1.17. 4. 1.18.2. 1.19. 2. 1.20. 2 . 1.21. 1.22. 1.23. 3. 1.24. 1. 1.25. -1. 1.26. -49. 1.27. 2. 1.28. 0. 1.29. 2. 1.30. - 1.31. 0,1. 1.32. 1. 1.33. 1. 1.34. 0,5. 1.35. 2. 1.36. . 1.37.1. 1.38. 1.39. 1.40. . 1.41. . 1.42. . 1.43. . 1.44. . 1.45. 9. 1.46. 1.47. 1. 1.48. 1.49. 1.50. 1.51. 0. 1.52. 1.53. 1.54. 1.55. 0. 1.56. 1.57. 1.58. 1.59. 1.60. 1.61. 0. 1.62. 1. 1.63. 1.64. x. 1.65. 1.66. 1.67. 1.68. 1.69. 3. 1.70. 1.71. 0. 1.72. 1.73. 1.74. 0. 1.75. 1.76. 2. 1.77. 1.78. 1. 1.79. 1. 1.80. 1.81. -3. 1.82. 1.83. 1.84. 1.85. -1. 1.86. 1. 1.87. 1.88. 0. 1. 89. - 1.90. 0.

2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. 2.5. 2.6. . 2.7. . 2.8. . 2.9. . 2.10. . 2.11. . 2.12. . 2.13. . 2.14. . 2.15. . 2.16. . 2.17. . 2.18. . 2.19. . 2.20. . 2.21. . 2.22. . 2.23. 2.24. 2.25. 2.26. 2.27. 2.28. . 2.29. 2.30. . 2.31. . 2.32. 2.33. 2.34. 2.35. 2.36. . 2.37. . 2.38. 2.39. 2.40. 2.41. 2.42. 2.43. . 2.44. . 2.45. 2.46. 2.47. 2.48. 2.49.

2.50. .

2.51. 2.52.

2.53. .

2.54. 2.55.

2.56. 2.57.

2.58. 2.59. 2.60.

2.61.

2.62.

2.63. 2.64.

2.65. 2.66.

2.67. 2.68. 2.69. 2.70. 2.71. 2.72. 2.73.

2.74.

2.75. 2.76. 2.77. 2.78. 2.79. 2.86. 2.87. 2.88. 2.89. 2.90. 2.91. 2.92. 2.93.

3.1. Максимум в точке

3.2. Минимум в точке ; максимум в точке

3.3. Максимум в точке минимум в точке

3.4. Максимум в точке минимум в точке

3.5.Функция монотонно возрастает в интервале .

3.6.Точки экстремума При четном точки являются точками минимума, где ; при нечетном точки являются точками максимума, где

3.7.

3.8.

3.9.Экстремумов нет.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.Максимум в точке ; функция имеет перегиб в точках и .

3.14. Минимум в точке максимум в точке . В точке функция имеет перегиб.

3.15. В точке функция имеет минимум. В точке функция имеет разрыв II рода.

3.16. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. График пересекает оси координат в точках и . Асимптот нет. Точка перегиба .

3.17. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. График пересекает оси координат в точках и . Асимптот нет. Точки перегиба и .

3.18. – точки разрыва II рода. График пересекается с осями в начале координат. Асимптоты и

Точка перегиба .

3.19. – точка разрыва II рода. График пересекает оси координат в точках и . Асимптоты и Точек перегиба нет (гипербола).

3.20. Функция определена и непрерывна всюду. График пересекается с осями в начале координат. Асимптота Экстремумов нет, функция всюду возрастает. Точки перегиба , , .

3.21. Функция определена и непрерывна всюду. График пересекает оси координат в точках и . Асимптота Экстремумов нет, функция всюду убывает. Точки перегиба и .

3.22. Область определения . График пересекает оси координат в точках и – концевая точка. Асимптот нет. Точек перегиба нет.

3.23. Минимум при .

3.24. Максимум при ; минимум при .

3.25. Максимум при ; минимум при

3.26. Функция имеет минимум в точке . В точке – имеет место разрыв II рода.

3.27. Максимум минимум в точке – перегиб; в точках и функция имеет разрывы II рода.

3.28. В точке – минимум. В точке функция имеет разрыв II рода.

3.29. – максимум; в точке функция имеет разрыв II рода; в точке функция имеет перегиб.

3.30. Минимум ; максимум ; – точка перегиба.

3.31. В точках разрывы II рода; максимум в точке ; и – вертикальные асимптоты; – горизонтальная асимптота.

3.32. – точка разрыва II рода; – горизонтальная асимптота; – максимум; – точка перегиба.

3.33. и – точки разрыва II рода; вертикальные асимптоты: , ; горизонтальная асимптота ; – максимум.

3.34. – точка разрыва II рода; – горизонтальная асимптота; – вертикальная асимптота; – точка минимума.

3.35. – точка разрыва II рода; – вертикальная асимптота; – точка минимума; – точка перегиба.

3.36. – вертикальная асимптота; – горизонтальная асимптота; – максимум; – точка перегиба.

3.37. х=0 – вертикальная асимптота; y=x- наклонная асимптота; ( ) – минимум.

3.38. – горизонтальная асимптота; , – вертикальные асимптоты; - функция выпукла вверх; – функция выпукла вниз.

3.39. – наклонная асимптота; – функция выпукла вниз; – функция выпукла вверх; и – точки перегиба.

3.40. – точка максимума; – точка минимума; – точка перегиба.

4.1. 4.2. 4.3. . 4.4. . 4.5. 4