Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда положительны и убывают, т.е. и пусть - непрерывная положительная убывающая функция, определенная при такая, что

тогда интеграл и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Пример 7.1. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда

Решение. Зная, -й член ряда, находим следующий за ним ( )-й член, заменяя в выражении -го члена через ( ). Затем ищем предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании

Здесь, следовательно, согласно признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 7.2. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда

Решение.

Здесь следовательно, согласно признаку Коши данный ряд сходится.

Пример 7.3. Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:

Решение.Сравним данный ряд с гармоническим рядом:

Каждый член данного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена гармонического ряда: и, так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.

Пример 7.4. Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:

Решение. Сравним данный ряд с бесконечной геометрической прогрессией: , которая представляет сходящийся ряд. Каждый член исследуемого ряда , начиная с третьего, меньше соответствующего члена бесконечной геометрической прогрессии:

следовательно, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд является сходящимся.

Пример 7.5.Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

Решение. Заменяем в заданном выражении общего члена ряда номер непрерывной переменной и убеждаемся, что полученная функция является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения . Затем находим несобственный интеграл от с бесконечным верхним пределом.