Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

где и – некоторые (непрерывные) функции переменной . В случае, когда функция тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Будем искать решение в виде . Очевидно, что здесь искомыми становятся функции и . Так как , то из определения следует или

Найдем сначала какое-либо частное решение уравнения

Тогда функция – решение уравнения

Таким образом, решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 8.3.Решить уравнение

Решение.Разделив обе части уравнения на , получим линейное неоднородное уравнение:

Пусть , т.е. , тогда исходное уравнение примет вид или

Положим или , откуда . Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при и . При равенство обратится в уравнение , или . Решая данное уравнение с разделяющимися переменными, получаем . Тогда окончательно имеем: