Дифференцирование функций комплексного переменного.

- поле комплексных чисел

, базис

- вектор в

Можно положить

Стандартная система комплексных чисел будет при , .

Функция комплексного переменного , , .

Опр. называется дифференцируемой (аналитической) (в т. ), если существует

.

Предел должен существовать вдоль любого направления.

1)

2)

1)

2)

Приравниваем производные, получим - уравнения Коши-Римана

и наоборот, если выполняются условия Коши-Римана, то функция дифференцируемая.

В последнем случае существуют полные дифференциалы

Существует полный дифференциал функции :

Введем обозначение:

Частные производные

,

которые имеют смысл, даже если не дифференцируема, а функции и дифференцируемы.

Тогда

Если же дифференцируема (т.е. выполняется условие Коши-Римана), то