Частные производные функции нескольких переменных

Определение 6. Частной производной по х от функции z = f(х, у) называется предел отношения частного приращения D_хz по х к приращению Dх при стремлении Dх к нулю.

Частная производная по х от функции z = f(х, у) обозначается одним из символов

, , , .

Таким образом, по определению,

.

Аналогично частная производная по у от функции z = f(х, у) определяется как предел отношения частного приращения D_уz по у к приращению Dу при стремлении Dу к нулю. Частная производная по у обозначается одним из символов

, , , .

Таким образом,

.

Заметив, что D_хz вычисляется при неизменном у, а D_уz при неизменном х, мы можем определения частных производных сформулировать так: частной производной по х от функции z = f(х, у) называется производная по х, вычисленная в предположении, что у – постоянная. Частной производной по у от функции z = f(х, у) называется производная по у, вычисленная в предположении, что х – постоянная.

Из этого определения ясно, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций одной переменной, и только требуется каждый раз помнить, по какой переменной ищется производная.

Пример 14. Дана функция ; требуется найти частные производные и .

Решение. , .

Пример 15. z = x^y.

Здесь , .

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично. Так, если имеем функцию и четырех переменных х, у, z, t:

,

то

,

и т.д.

Пример 16. .

, , , .