Непрерывность функции нескольких переменных

Введем важное вспомогательное понятие – понятие окрестности данной точки.

Окрестностью радиуса r точки М₀(х₀, у₀) называется совокупность всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенству , т.е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке М₀(х₀, у₀).

Если мы говорим, что функция f(х, у) обладает каким-либо свойством «вблизи точки (х₀, у₀)» или «в окрестности точки (х₀, у₀)», то под этим подразумеваем, что найдется такой круг с центром (х₀, у₀), во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством.

Прежде чем рассматривать понятие непрерывности функции нескольких переменных, рассмотрим понятие предела функции нескольких переменных.

Пусть дана функция

z = f(х, у),

Определение 4. Число А называется пределом функции f(х, у) при стремлении М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого число e > 0 найдется такое число r > 0, что для всех точек М(х, у), для которых выполняется неравенство , имеет место неравенство

.

Если число А является предел функции f(х, у) при М(х, у) ® М₀(х₀, у₀), то пишут

.

Определение 5. Пусть точка М₀(х₀, у₀) принадлежит области определения функции f(х, у). Функция z = f(х, у) называется непрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если имеет место равенство

, (2)

причем тоска М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Если обозначим х = х₀ + Dх, у = у₀ + Dу, то равенство (2) можно переписать так:

(3)

или

. (4)

Обозначим . При Dх ® 0 и Dу ® 0 Dr ® 0, и обратно, если Dr ® 0, то Dх ® 0 и Dу ® 0.

Замечая, далее, что выражение, стоящее в квадратных скобках в равенстве (4), есть полное приращение функции Dz, равенство (4) можно переписать в форме

.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.

Если в некоторой точке N(х₀, у₀) не выполняется условие (2), то точка N(х₀, у₀) называется точкой разрыва функции z = f(х, у). Условие (3) может не выполняться, например, в случаях:

1) z = f(х, у) определена во всех точках некоторой окрестности N(х₀, у₀), за исключением самой точки N(х₀, у₀);

2) функция z = f(х, у) определена во всех точках окрестности точки N(х₀, у₀), но не существует предел ;

3) функция определена во всех точках окрестности N(х₀, у₀) и существует предел , но .

Пример 12. Функция z = х² + у² непрерывна при любых значениях х и у, т.е. в любой точке плоскости Оху.

Действительно, каковы бы ни были числа х и у, Dх и Dу, имеем

,

следовательно, .

Приведем пример разрывной функции.

Пример 13. Функция определена всюду, кроме точки х = 0, у = 0.

Рассмотрим значения z вдоль прямой y = kx (k = const). Очевидно, вдоль этой прямой

,

т.е. функция z вдоль всякой прямой, проходящей через начало координат, сохраняет постоянное значение, зависящее от углового коэффициента k прямой. Поэтому, подходя к началу координат по различным путям, мы будем получать различные предельные значения, а это значит, что функция f(х, у) не имеет предела, когда точка (х, у) на плоскости Оху стремится к началу координат. Следовательно, функция разрывна в этой точке. Эту функцию нельзя доопределить в начале координат так, чтобы она стала непрерывной. Легко видеть, с другой стороны, что в остальных точках эта функция непрерывна.

Укажем некоторые важные свойства функции многих переменных, непрерывной в замкнутой и ограниченной области. Эти свойства аналогичны свойствам непрерывной на отрезке функции одной переменной.

Свойство 1. Если функция f(х, у, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в области D найдется по крайней мере одна точка N(х₀, у₀, …) такая, что для всех других точек области будет выполняться соотношение

f(х₀, у₀, …) ³ f(х, у, …),

и по крайней мере одна точка Р(х₁, у₁, …) такая, что для всех других точек области будет выполняться соотношение

f(х₁, у₁, …) £ f(х, у, …).

Значение функции f(х₀, у₀, …) = М будем называть наибольшим значением функции f(х, у, …) в области D, а значение f(х₁, у₁, …) = т – наименьшим значением.

Это свойство формулируется и так. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения т.

Свойство 2. Если функция f(х, у, …) непрерывна в замкнутой и ограниченной области D и если М и т – наибольшее и наименьшее значения функции f(х, у, …) в области, то для любого числа m, удовлетворяющего условию т < m < М, найдется в области такая точка Р^*(х^*, у^*, …), что будет выполняться равенство f(х^*, у^*, …) = m.

Следствие свойства 2. Если функция f(х, у, …) непрерывна в замкнутой ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(х, у, …) обращается в нуль.