Частное и полное приращение функции

Рассмотрим линию пересечения поверхности

z = f(x, y)

с плоскостью y = const, параллельной плоскостью Oxz.

Так как в этой плоскости у сохраняет постоянное значение, то z вдоль кривой, у которой у постоянное, будет меняться только в зависимости от изменения х. Дадим независимой переменной х приращение Dх; тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается через D_хz, так что

.

Аналогично, если х сохраняет постоянное значение, а у получает приращение Dу, то z получает приращение, называемое частным приращением z по у. Это приращение обозначают символом D_уz:

.

Приращение D_уz функция получает «вдоль линии» пересечения поверхности z = f(х, у) с плоскостью x = const, параллельной плоскости Oyz.

Наконец, сообщив аргументу х приращение Dх, а аргументу у – приращение Dу, получим для z новое приращение Dz, которое называется полным приращением функции z и определяется формулой

.

Надо заметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е. .

Пример 11. z = xy.

; ;

.

При х = 1, у = 2, Dх = 0,2, Dу = 0,3 имеем , , .

Аналогичным образом определяются частные и полное приращения функции любого числа переменных. Так, для функции трех переменных u = = f(x, y, t) имеем

,

,

,

.