Колебания одного направления и одинаковой частоты. Биения

Колеблющиеся тела могут одновременно участвовать в нескольких колебательных процессах. Для нахождения результирующего колебания эти колебания надо сложить.

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:

x₁ = A₁cos(w₀t+j₀₁); x₂ = A₂cos(w₀t+j _{0 2}), (37)

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды. Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис 5). Так как векторы а₁ , а₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью w₀, то разность фаз между ними (j_{02 -} j₀₁) остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет

x = x₁ + x₂ = Acos(w₀t+j₀) (38)

В выражении ( 38) амплитуда А и начальная фаза j₀ соответственно задаются соотношениями:

(39)

(40)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний. Проанализируем выражение (39) в зависимости от разности фаз (j₀₂—j₀₁):

1) (j₀₂—j₀₁) = 2mp ( m = 0,1,2,…), тогда А = А₁+А₂,

т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) (j₀₂—j₀₁) = ± (2m+1)p (m = 0, 1, 2,...), тогда A = |A₁ –A₂|, т.е. амплитуда резуль­тирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В ре­зультате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющей­ся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты w и w+Dw. причем Dw «w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

(41)

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе

Dw / 2 « w, найдем

x = (2Acos t)cosw t (42)

Результирующее колебание (104) можно рассматривать как гармоническое с частотой w, ампли-туда А, которого изменяется по следующему периодическому закону:

А_б = |2Acos t | (43)

Частота изменения амплитуды А_б в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых, колебаний: w_б = Dw.

Характер зависимости (42) показан на рис. 6, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (42), а огибающие их - график медленно меняющейся по уравнению (43) амплитуды.

Определение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями - наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Любые сложные периодические колебания S = f(t) можно представить в виде супер­позиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амп­литудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте w₀:

(44)

Представление периодической функции в виде (44) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами w₀, 2w₀, Зw₀, ..., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложно­го периодического колебания.