Кривые второго порядка

Линии, определяемые уравнениями второй степени с двумя текущими координатами

называются кривыми второго порядка. Это уравнение на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) определяет окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой ее центром. Расстояние от точки окружности до центра называется радиусом окружности.

Напомним, уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

уравнение окружности радиуса с центром в точке :

Рис Эллипс– множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через , расстояние между ними через , сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов через . По определению . Выберем ДСК так, чтобы фокусы лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка . Тогда фокусы имеют координаты . Пусть – произвольная точка эллипса. По определению имеем , т.е.

Отсюда

Возведем обе части в квадрат, а затем уединим корень:

Возведем еще раз в квадрат и перегруппируем:

Обозначив , получим

– каноническое уравнение эллипса.

Числа называются полуосями эллипса. Степень «вытянутости» эллипса характеризует эксцентриситет

Рис Гипербола– множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через , расстояние между ними через , модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов через . По определению . Выберем ДСК так, чтобы фокусы лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка .

Докажите самостоятельно, что уравнение гиперболы в этом случае имеет вид

где обозначено .

Здесь – действительная, – мнимая полуоси гиперболы, прямые называются асимптотами. Эксцентриситет .

Парабола– множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки , называемой фокусом, и данной прямой , называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

Выберем ДСК как указано на рисунке. Тогда уравнение параболы имеет вид:

3. 1. Привести к каноническому виду уравнение и построить кривую.

Решение. Т.к. и входят в уравнение с одинаковыми знаками, но разными коэффициентами, то оно описывает эллипс. Сгруппируем слагаемые следующим образом

и, используя известную формулу выделения полного квадрата , выделим в выражениях в скобках полные квадраты:

После преобразований, получим:

или .

Это уравнение эллипса с центром в точке и полуосями . рис

3. 2. Привести к каноническому виду уравнение , построить кривую, найти координаты фокусов. рис

Решение. Разделив обе части уравнения на (-144), получим

Очевидно, это уравнение гиперболы, однако переменные и «поменялись ролями» – коэффициент при равен (-1), что следует учесть при построении линии: фокусы этой гиперболы расположены на оси . Чтобы найти их координаты, воспользуемся равенством . Откуда , т.е. .

3. 3. Найти проекцию фокуса параболы на прямую .

Решение. Рис Из уравнения параболы имеем: , т.е. координаты фокуса . Проекция на – точка пересечения и прямой, проведенной из перпендикулярно (обозначим ее ). Уравнение представлено в каноническом виде, числа являются координатами вектора, направляющего прямую, он же является нормалью к прямой . Используя уравнение прямой по точке и нормали (см…), получим: или

Координаты искомой точки пересечения прямых и должны удовлетворять их уравнениям, т.е. – решение системы

Первое уравнение преобразуется на основании свойства пропорции (произведение средних членов равно произведению крайних) к виду или . Решим полученную систему уравнений

например, по формулам Крамера: .

Ответ:

Уравнение поверхности и линии в пространстве

Пусть задана ДСК в пространстве. Уравнением поверхности называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной поверхности и не удовлетворяют координаты любой другой точки. Переменные называются текущими координатами точек поверхности.